A quoi sert le carré ?

[SupremZerroBarre]

Bonjour !

ABC est un triangle rectangle en A⇔AB2+AC2=BC2


Mais pourquoi user du carré dans cette démonstration ? Plus généralement, à quoi sert le carré d'un nombre ?


Merci d'avance !

[titine]

Je ne comprends pas trop ta question.

Un carré dont le côté mesure 5 cm a une aire de 5² = 25 cm²

Dans un triangle ABC rectangle en A on a BC² = AB² + AC²
C'est à dire que si AB=4 et AC=3 alors BC² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25 . Donc BC = 5
BC n'est pas égal à AB + AC . BC n'est pas égal à 7.
Géométriquement la longueur BC n'est pas égal à la longueur AB + la longueur AC. Fais un dessin, c'est évident.
Par contre si tu dessines sur chaque côté de ton triangle un carré, l'aire du carré de côté BC est la somme des aires des 2 autres carrés.

[Lostounet]

Bonjour !

ABC est un triangle rectangle en A⇔AB2+AC2=BC2


Mais pourquoi user du carré dans cette démonstration ? Plus généralement, à quoi sert le carré d'un nombre ?

Bonne question !

Une des choses "surprenantes" concernant le théorème de Pythagore, c'est qu'il fait intervenir des carrés de longueurs. Quand on multiplie une longueur par une longueur, on obtient une surface: le théorème de Pythagore relie les aires des carrés formés à partir des cotés du triangle.

Pourquoi au carré et pas au cube par exemple? Ou pas AB + BC = AC ? tout simplement... parce que, dans ce cadre-là, c'est comme ça (et parce que, toute autre relation serait fausse dans le cadre général, tu n'as qu'à tester) !
Le triangle rectangle est régi par cette relation (qu'il va falloir accepter), qui porte le nom de Pythagore. Ce théorème a été prouvé mathématiquement, ce qui fait qu'il est irréfutable: si tu souhaites vraiment savoir le pourquoi, tu peux consulter une preuve (exemple ici la "preuve muette" assez simple à visualiser http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ ... PythDe.htm).

Par contre, il faut savoir que tout théorème a ses hypothèses (et donc ses limites!), et qu'à un triangle quelconque (non rectangle forcément) on ne peut appliquer le théorème de Pythagore (mais un autre théorème plus 'puissant').

En physique, le carré d'une longueur s'exprime par exemple en mètres carrés (pour exprimer l'aire d'un terrain de tennis, la superficie d'un pays, l'aire d'un mur si on veut prévoir grosso modo la quantité de peinture par exemple, l'aire d'un écran LCD même si on utilise en général la longueur de la diagonale).

En maths, le carré intervient souvent pour calculer des aires, pour l'étude de fonctions, développer une expression littérale. Par exemple, le produit de deux nombres consécutifs vaut 6. Quels sont ces nombres?

Cela revient à trouver x tel que x*(x + 1) = 6
donc x*x + x = 6 et qui fait naturellement intervenir le carré de "x" (c'est un peu surprenant a priori: multiplier un nombre par son suivant, c'est comme si tu calculais ce nombre au carré et que tu rajoutais le nombre en question...)

[SupremZerroBarre]

Bonjour et merci pour vos réponses.

Bonne question !
Une des choses "surprenantes" concernant le théorème de Pythagore, c'est qu'il fait intervenir des carrés de longueurs. Quand on multiplie une longueur par une longueur, on obtient une surface: le théorème de Pythagore relie les aires des carrés formés à partir des cotés du triangle.

Oui mais pour obtenir une surface, il faut au moins deux dimensions. Ce qui signifie une longueur et une largeur. Lorsque tu écris "une longueur par une longueur", tu sous-entends en fait "une longueur par une largeur", c'est ça ? Sans quoi il me semble qu'en multipliant une longueur par une longueur, je n'obtiens jamais qu'un segment plus long.

Pourquoi au carré et pas au cube par exemple? Ou pas AB + BC = AC ? tout simplement... parce que, dans ce cadre-là, c'est comme ça (et parce que, toute autre relation serait fausse dans le cadre général, tu n'as qu'à tester) !
Le triangle rectangle est régi par cette relation (qu'il va falloir accepter), qui porte le nom de Pythagore. Ce théorème a été prouvé mathématiquement, ce qui fait qu'il est irréfutable: si tu souhaites vraiment savoir le pourquoi, tu peux consulter une preuve (exemple ici la "preuve muette" assez simple à visualiser http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ ... PythDe.htm).

Merci beaucoup pour le lien. En sait-on plus toutefois que la simple démonstration ? Comment Pythagore a-t'il compris ce théorème ? Au bout de combien de temps de recherche ? Avec qui ? Dans quelles conditions ?

Par contre, il faut savoir que tout théorème a ses hypothèses (et donc ses limites!), et qu'à un triangle quelconque (non rectangle forcément) on ne peut appliquer le théorème de Pythagore (mais un autre théorème plus 'puissant').

Par "plus puissant", tu entends seulement "plus complexe" ?

En maths, le carré intervient souvent pour calculer des aires, pour l'étude de fonctions, développer une expression littérale. Par exemple, le produit de deux nombres consécutifs vaut 6. Quels sont ces nombres?

Mais justement, qu'est-ce qui donne au carré cette valeur particulière en mathématique, qui fait qu'on le retrouve dans tant et tant de formules ? Pourquoi pas la puissance 7, par exemple ? C'est parce qu'on est encore un peu borné, à notre époque ?

[Lostounet]

Hello,

Oui en l'occurrence, multiplier deux "grandeurs exprimées chacune en unité de longueur" donne une "grandeur exprimée en unité de surface". Tu peux l'appeler "largeur" (en général cette appellation est destinée au rectangle ayant une "grande longueur" et une "petite largeur"), mais il n'est pas faux de dire qu'on peut multiplier deux 'longueurs' physiquement: le carré dont un coté a pour longueur c a pour aire c*c.
Donc bref, c'est une 2e dimension (pas un 'segment plus long' - qui serait obtenu en multipliant la longueur par un nombre (sans dimension) exemple 4*c avec 4 qui désigne le nombre 4 et pas 4 cm).

En ce qui concerne comment Pythagore a compris ce théorème, ça ne m'étonnerait pas que ce ne soit pas lui qui ai "découvert" cette propriété (faudrait chercher !). Mais justement, la préoccupation des mathématiciens de nos jours c'est pas de savoir qui a fait quoi, mais surtout le fond et le contenu des théorèmes prouvés.

Par "plus puissant" je voulais dire "plus général": je parlais du théorème d'Al-Kashi pour lequel le théorème de Pythagore est un cas particulier http://kuartin.math.pagesperso-orange.f ... lkashi.htm
on l'appelle des fois Pythagore généralisé ou loi des cosinus.
Ce théorème s'applique à tout triangle (pas que les triangles rectangles) mais on se doute bien qu'il faut un minimum d'informations sur le triangle en question.

Pour ma part, je ne pense pas que le carré joue un rôle si particulier en maths: la puissance 7 n'est pas moins importante et peut intervenir elle aussi. Tout simplement, le carré est une petite puissance paire qui permet de "résumer" simplement les propriétés des nombres de la forme avec x entier et a pair. Rien de plus divin, mis à part le fait qu'elle intervient en dimension 2 par exemple (et les autres choses que j'ai pu invoquer au post précédent).

[SupremZerroBarre]

Ok ok,

Merci pour ce morceau de culture générale mathématique, Lostounet. Je ne sais que répondre de plus, à vrai dire.
Je m'en vais approfondir le sujet.

A bientôt pour de nouvelles questions, sur ce chouette forum !

[Eliza]

“ À quoi çà sert la racine carrée dans la vie réelle ? ” Pour un architecte , une place carrée à bâtir a des mesures...

[SupremZerroBarre]

Pour ma part, je ne pense pas que le carré joue un rôle si particulier en maths: la puissance 7 n'est pas moins importante et peut intervenir elle aussi. Tout simplement, le carré est une petite puissance paire qui permet de "résumer" simplement les propriétés des nombres de la forme avec x entier et a pair. Rien de plus divin, mis à part le fait qu'elle intervient en dimension 2 par exemple (et les autres choses que j'ai pu invoquer au post précédent).

En fait non, je ne suis pas satisfait de la réponse. De fait, le carré se retrouve dans presque toutes les formules mathématique, tant et si bien que tout le monde connaît l'expression "au carré", par exemple E=MC2.

Pourquoi donc le carré se retrouve-t'il partout ?

[Lostounet]

En fait non, je ne suis pas satisfait de la réponse. De fait, le carré se retrouve dans presque toutes les formules mathématique, tant et si bien que tout le monde connaît l'expression "au carré", par exemple E=MC2.

Pourquoi donc le carré se retrouve-t'il partout ?

Si tu regardes les formules de physique 'de base' https://openclassrooms.com/forum/sujet/ ... onnaitre-1
je sais pas pour toi, mais moi je vois pas que le carré occupe une place mystique prépondérante (pas plus que la racine carrée, l'inverse du carré, le logarithme, l'exponentielle..). Je ne sais donc pas à quel type de réponse tu t'attends...

Les formules sont adaptées aux dimensions des grandeurs manipulées, que l'on soit dans une décroissance logarithmique, ou une interaction gravitationnelle.