[3e +] Fonctions - Calcul littéral - Exercices d'approfondissement

[Zweig]

Pas de soucis, comme je l'ai précisé, mes exos sont loin d'être fastoches !

Alors, j'avais donné il me semble un petit indice : faire le lien avec le dernier exercice que je t'ai donné, à savoir :

Dans notre équation, nous avons deux cubes et "xy", il nous en manque un troisième + le "3" de "3xyz"... Mais remarque que ...

[Lostounet]

Pas de soucis, comme je l'ai précisé, mes exos sont loin d'être fastoches !

Alors, j'avais donné il me semble un petit indice : faire le lien avec le dernier exercice que je t'ai donné, à savoir :

Dans notre équation, nous avons deux cubes et "xy", il nous en manque un troisième + le "3" de "3xyz"... Mais remarque que ...

Bonjour,
Donc on va essayer de repérer quelque chose de la forme x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz?



..?

[Zweig]

Multiplie les 2 membres par 27 plutot.

[Lostounet]

Multiplie les 2 membres par 27 plutot.

Très bonne idée!
J'obtiens:



On divise par 9? C'est juste?

[Zweig]

J'ai pas de feuille et un stylo près de moi pour vérifier, mais a priori c'est faux car le membre de droite doit être, de mémoire, 1600 et des poussières. Détaille les calculs stp.

[Black Jack]

Chose promise, chose dûe. Deux exercices dont le premier fortement lié à ce qui a été fait précédemment et l'autre exercice complètement indépendant. Tout est dans la factorisation, pas besoin d'avoir des connaissances particulières en arithmétique.

i) Equation diophantienne :

Résoudre dans l'équation suivante :

ii) Système diophantien

Résoudre dans le système suivant :



PS rends ton temps, ils sont loin d'être faciles, surtout pour quelqu'un qui n'est pas habitué aux exercices olympiques (le premier étant des olympiades russes ...)

i)

Poser y = x-n avec n dans N* (puisque y doit être plus petit que x)

x³ - (x-n)³ = x(x-n) + 61
x³ - (x³-3nx²+3n²x-n³) = x² - nx + 61

(3n-1)x² - (3n²-n)x + n³ -61 = 0

x = [(3n²-n) +/- V[9n^4+n²-6n³-4(3n-1)(n³-61)]]/(2(3n-1))

x = n/2 +/- V(-3n^4-2n³+n²+732n-244)]/(2(3n-1))

-3n^4-2n³+n²+732n-244 5 et donc seuls n entier dans [1 ; 5] est à considérer.

On essaie les 5 valeurs valeurs possibles de n et seul n = 1 conduit à une valeur entière pour x, soit x = 6

Le seul couple (x,y) solution est donc (6 , 5)

:zen:

[Zweig]

Joli ! Lapras avait donné une autre solution il y a de ça quelques années (oui, je radote avec mes problèmes, héhé) mais j'arrive plus à retrouver mon thread =(

[Lostounet]

Bonjour!

J'ai pas de feuille et un stylo près de moi pour vérifier, mais a priori c'est faux car le membre de droite doit être, de mémoire, 1600 et des poussières. Détaille les calculs stp.

Oui, effectivement, je m'en suis rendu compte ce matin (c'est ce que je fais en cours de maths :ptdr: )

Voici ce que j'obtiens:











??? C'est bien ça?
Après, je pense qu'il faut travailler dans le deuxième facteur?

Pour la méthode de BlackJack.. :doh: Je vais la noter!!

[Zweig]

C'pas bon, car en fait X = 3x, Y= -3y et Z = 9, donc -3XYZ = -3*3x*-3y*9 =/ -27xy ... En fait, -27xy = -3*(3x)*(-3y)*(-1), donc le z vaut -1 et il faut donc retrancher -1 au membre dr droite ...

[Lostounet]

C'pas bon, car en fait X = 3x, Y= -3y et Z = 9, donc -3XYZ = -3*3x*-3y*9 =/ -27xy ... En fait, -27xy = -3*(3x)*(-3y)*(-1), donc le z vaut -1 et il faut donc retrancher -1 au membre dr droite ...

Exact! Désolé :S .. Ça viendra..






Par identification, on obtient z = -1 parce que 27 * (-1) = -27

Et on factorise:



?

[Zweig]

plutôt.

Maintenant utilise le fait que 823 est un nombre premier.

[Lostounet]

plutôt.

Maintenant utilise le fait que 823 est un nombre premier.

Oui, en effet.

Je ne suis pas sûr... Voici ce que me dit mon cerveau, je vois deux cas:

Premier cas:
1646 = 2 * 823

Or:
1646 = (3x - 3y - 1)(9x^2 + 9y^2.....)

Puisque le deuxième facteur est divisible par 3, il ne peut être égal à 823 (premier).

Donc:
3x - 3y - 1 = 823
et 9x^2 + 9y^2... = 2

(Mais 2 non plus n'est pas divisible par 3...)

Deuxième cas:

1646 = 1 * 1646
1646 n'est pas divisible par 3, donc

1646 = 3x - 3y - 1
1 = 9x^2 + 9y^2...

[Zweig]

Ah bon, le deuxième facteur est divisible par 3 ? Fais gaffe au "+1" ... :zen:

Sinon, le deuxième facteur est clairement supérieur au premier, donc pour ton premier cas, deuxième facteur = 823, et l'autre = 2

Après, ton deuxième cas est impossible car d'après la remarque précédente, on devrait avoir 3x - 3x - 1 = 1, donc 3x - 3y = 2, pas possible par 3 ne divise pas 2. Donc le seul cas à traiter est celui que j'ai mentionné.

[Lostounet]

Oui, mais si deuxième facteur est divisible par 3, et 823 ne l'est pas...!
Comment poser deuxieme facteur = 823?

Modif: Ahh il y a le plus 1!

[Zweig]

Le deuxième facteur ne peut pas être divisible par 3, il est congru à 2 modulo 3 (à cause du "+1")

[Lostounet]

Le deuxième facteur ne peut pas être divisible par 3, il est congru à 2 modulo 3 (à cause du "+1")

On arrive donc avec le système:

{ 9x^2 + 9y^2 + 1 + 9xy +3x -3y = 823
{ 3x - 3y - 1 = 2

?

Je le résous..? Je vais substituer.
x = y + 1

9(y + 1)^2 + 9y^2 + 1 + 9y(y + 1) + 3(y + 1) - 3y = 823
9y² + 18y + 9 + 9y^2 + 1 + 9y^2 + 9y + 3y + 3 - 3y = 823

27y^2 + 27y - 810 = 0

Je trouve y = -6 ou y = 5

Or y est un entier naturel, -6 est à rejeter.

y = 5,

x = y + 1
x = 5 + 1 = 6

!!!!

[Zweig]

Ouep :zen:

[Lostounet]

Merci beaucoup :D

J'ai une petite question :
Qu'est-ce qui nous garantit que les soluces de ce systèmes sont entières? Le fait que 823 est premier..?

[Zweig]

Hum ? :hein:

[Lostounet]

On a posé un système, non?

Mais on aurait très bien pu tomber sur des solutions décimales ou rationnelles pour ce système, n'est-ce pas? Qu'est-ce qui a fait qu'on a obtenu des entiers?