[3e +] Fonctions - Calcul littéral - Exercices d'approfondissement

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Lostounet
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par Lostounet » 13 Nov 2010, 20:10

Mdr! Merci! :D
Oui donc donc:

3(c - b)(a - c)(a - b) ?
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Zweig
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par Zweig » 13 Nov 2010, 20:12

Oui, comme je l'avais dit quelques messages plus haut ;-)

Maintenant le deuxième exo (j'ai donné une indic quelques messages plus haut)

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par Lostounet » 18 Nov 2010, 20:33

Salut Zweig,
Pour la deuxième, je vois pas trop par quoi commencer :S
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Olympus
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par Olympus » 18 Nov 2010, 22:52

Salut Lostounet !

Si t'as jamais vu les relations entre coefficients et racines avec un polynôme de degré 3 ou plus ( car pour le degré 2 tu les connais sûrement déjà ), eh bien je te propose ( si ce n'est pas un gros indice ) de les découvrir ( je pourrais aussi te dire que , et sont des racines "évidentes" du polynôme de Zweig mais c'est contre-productif :zen: ) :

Soit un polynôme du troisième degré tel que , et soient ses trois racines .

- Montrer que peut s'écrire sous la forme ( Cas particulier du théorème de d'Alembert-Gauss ) .

- En déduire en fonction de ( Cas particulier des relations de Viète ) .

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par Lostounet » 18 Nov 2010, 22:59

Salutt!

Pour la première, c'est évident.
x = u; x = w ou x = v et on retrouve les trois racines..?

Je pense qu'on devrait développer le (x - u)(x - v)(x - w) pour trouver la relation entre racines et coefficients (par identification peut-être, je CROIS, normalement un peu)?
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par Olympus » 18 Nov 2010, 23:04

Lostounet a écrit:Salutt!

Pour la première, c'est évident.
x = u; x = w ou x = v et on retrouve les trois racines..?


Euh nope, j'attendais plutôt quelque chose du genre : vu que est une racine, alors P est divisible par , et donc où Q est un polynôme du 2ème degré . De même, Q est divisible par et ainsi de suite jusqu'à ce que tu retrouves où S est un polynôme de degré 0 et égal au coefficient de dans P .

Je pense qu'on devrait développer le (x - u)(x - v)(x - w) pour trouver la relation entre racines et coefficients (par identification peut-être, je CROIS, normalement un peu)?


Ouép c'est ça !

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par Lostounet » 18 Nov 2010, 23:09

Olympus a écrit:Euh nope, j'attendais plutôt quelque chose du genre : vu que est une racine, alors P est divisible par , et donc où Q est un polynôme du 2ème degré . De même, Q est divisible par et ainsi de suite jusqu'à ce que tu retrouves où S est un polynôme de degré 0 et égal au coefficient de dans P .


Oui mais j'aime pas diviser les polynômes par d'autres c'est très confus je trouve :P

Je ne vois pas quoi démontrer dans ta première question, "ça se voit" :hein:
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par Lostounet » 19 Nov 2010, 15:19

Bonjour Olymp',

Je trouve que:

P(x) = x³ + (- v - u - w)x² + (uv + wv + wu)x + (uvw)

Et j'en déduis:
a = -v-u-w
b = uv + wv + wu
c = uvw

Je me suis peut-être planté quelque part, mais ça doit être à peu près ça..!
J'ai ;) ?
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par Olympus » 19 Nov 2010, 15:21

Lostounet a écrit:Bonjour Olymp',

Je trouve que:

P(x) = x³ + (- v - u - w)x² + (uv + wv + wu)x + (uvw)

Et j'en déduis:
a = -v-u-w
b = uv + wv + wu
c = uvw

Je me suis peut-être planté quelque part, mais ça doit être à peu près ça..!
J'ai ;) ?


Yes, modulo le fait que c'est plutôt -uvw et non uvw ^^

Regarde le polynôme de Zweig maintenant :-)

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par Lostounet » 19 Nov 2010, 15:29

Ah ok ..!
Merci!

J'ai une petite question: Comment savoir que le coefficient de x dans les parenthèses est de 1?
(2x - ;)2)(x + 1) Par exemple..? C'est un peu confus dans ma tête.
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Nightmare
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par Nightmare » 19 Nov 2010, 15:37

Lostounet :

.

On pourra toujours se ramener, en factorisant par le (ou les) coefficients de x dans chaque parenthèse à quelque chose de la forme

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par Lostounet » 19 Nov 2010, 15:40

Oui, c'est vrai..
Merci..!

Je vais réfléchir au polynôme de départ et vous tiendrai au courant.
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par Zweig » 21 Nov 2010, 19:44

Ah j'avais pas vu que tu avais continué finalement.

Donc, par construction, x, y et z sont racines de P. Ecris mathématiquement ce que ça signifie puis vois ce que tu peux faire de ces 3 relations.

J'pense que tu t'en sortiras sans problème, après si tu veux j'ai un autre exercice assez costaud aussi (qui ne demande aucune connaissance que tu n'aies déjà)

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par Zweig » 24 Nov 2010, 19:59

Chose promise, chose dûe. Deux exercices dont le premier fortement lié à ce qui a été fait précédemment et l'autre exercice complètement indépendant. Tout est dans la factorisation, pas besoin d'avoir des connaissances particulières en arithmétique.

i) Equation diophantienne :

Résoudre dans l'équation suivante :

ii) Système diophantien

Résoudre dans le système suivant :



PS :Prends ton temps, ils sont loin d'être faciles, surtout pour quelqu'un qui n'est pas habitué aux exercices olympiques (le premier étant des olympiades russes ...)

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par Lostounet » 24 Nov 2010, 20:01

Bonsoir!

Tout d'abord, qu'est-ce que N^2 ? Z^5 ?
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par Zweig » 24 Nov 2010, 20:06

C'est une manière abrégée de dire dans le premier cas "Déterminer tous les couples (x,y) d'entiers naturels [...]" "Déterminer tous les couples [...]". L'exposant indique le nombre d'éléments dans la (), donc le nombre d'inconnues ici et l'ensemble N, Z indique à quel ensemble appartient les éléments de la ()

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par Lostounet » 24 Nov 2010, 20:08

Je vais y réfléchir.. Il me reste le ii) du dernier exo et je m'attaquerai à ces deux là aussi tôt que possible.
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par Zweig » 24 Nov 2010, 21:47

Pour le ii), bah c'est fini disons comme je l'ai expliqué plus haut ... Ecris P(x) = 0, P(y)=0, P(z) les unes en dessous des autres puis ... bah somme-les ? ;-)

Zweig
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par Zweig » 06 Déc 2010, 06:33

Up ;-) :we:

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par Lostounet » 07 Déc 2010, 00:29

Zweig a écrit:Chose promise, chose dûe. Deux exercices dont le premier fortement lié à ce qui a été fait précédemment et l'autre exercice complètement indépendant. Tout est dans la factorisation, pas besoin d'avoir des connaissances particulières en arithmétique.

i) Equation diophantienne :

Résoudre dans l'équation suivante :



Salut Zweig!

Excuse-moi, j'avais complètement oublié!

Je continue bien sûr, même si je n'obtiens rien de concluant. (Je ne suis toujours pas habitué à ce genre d'exos.. :s)
Je remarque plein de trucs intéressants, et j'arrive à la fin à:

(x - y)(x² - xy + y²) = (6² + xy + 5²)

Je ne sais pas si ça pourrait mener quelque part.. Mais bon. Une étude de signe, ou un truc du genre pourrait aboutir..?

Merci d'avoir été patient avec moi, c'est très sympa! :++:
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