Exercice sur les volumes et les fractions...

[mimi45]

Bonjour,
Je suis bloquée sur un exercice, voici l'énoncé :
une fontaine d'eau s'écoule de vasque en vasque et toutes les vasques débordent.
A chaque étape, la moitié du volume d'eau s'écoule dans les 2 vasques placés en dessous.
Exprimer sous forme de fraction le volume s'écoulant dans chaque vasque si un mètre cube coule dans la vasque du dessus.
Merci beaucoup à ceux qui prendront le temps de m'aider.

[mathtiti]

Bonjour,
Je suis bloquée sur un exercice, voici l'énoncé :
une fontaine d'eau s'écoule de vasque en vasque et toutes les vasques débordent.
A chaque étape, la moitié du volume d'eau s'écoule dans les 2 vasques placés en dessous.
Exprimer sous forme de fraction le volume s'écoulant dans chaque vasque si un mètre cube coule dans la vasque du dessus.
Merci beaucoup à ceux qui prendront le temps de m'aider.

Oulà, cela ne semble pas évident. Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris l'énoncé, voici donc une réponse à confirmer si les hypothèses prises sont les bonnes !

Il y a deux façons de voir les choses. La première :

A chaque niveau, il y a deux vasques a priori :

...............=========............... étape 1
........====...............=====....... étape 2
.....==.......==........==.......==..... étape 3
..==..==..==..==..==..==..==..==.. étape 4
etc étape n

Donc si c'est bien ça, il faut raisonner par niveau (ou étape) !

- A chaque niveau, quel est le nombre de vasques ?
C'est 2^(n-1) (^ : puissance)
- A chaque niveau, quel est le volume TOTAL :
Comme on perd la moitié de chaque volume à chaque fois, le volume total s'écoulant vers l'étape n est :
1/2^(n-1)

Ainsi pour avoir le volume dans chaque vasque situé à un niveau n, nous avons :
V = (volume total écoulé vers le niveau n) / (nombre de vasques du niveau n)
V = 1/2^(n-1) / 2^(n-1)
V = [1/2^(n-1)] * [1/2^(n-1)]
V = 1/2^(n-1+n-1)
V = 1/2^(2(n-1))

Etape 1
V1 = 1 : c'est l'hypothèse de départ.
Etape 2
V2 = 1/4 m3 écoulé dans chacune des 2 vasques (total = 1/2)
Etape 3
V3 = 1/16 m3 écoulé dans chacune des 4 vasques (total = 1/4)
Etape 4
V4 = 1/64 m3 écoulé dans chacune des 8 vasques (total = 1/8)
....


=========================================================================

La seconde façon, mais on dirait ici que c'est plutôt du niveau lycée, non ?

Il y a un ensemble de vasques l'une sous l'autre pour former la fontaine, un peu comme ceci :
..........= vasque n°0
.........== vasque n°1 (la première en dessous)
........==== vasque n°2
......====== vasque n°3
....======== vasque n°4
etc

Et la moitié de l'eau de la vasque 0 s'est écoulée dans la vasque n°1 et n°2...

Nous avons ainsi avec V les volumes :
V1 + V2 = (1/2)V0

et plus généralement :
Vn+2 + Vn+1 = (1/2)Vn

On dirait qu'il nous manque une relation pour aller plus loin... C'est à dire trouver une formule pour chaque vasque...

Peut-on poser l'hypothèse qu'il y a proportionnalité de perte de volume d'eau entre chaque vasque ?
C'est l'hypothèse que je retiens pour cet exercice (et qui serait à confirmer) :
Dans ce cas avec x le coefficient de proportionnalité :
V1 = xV0
V2 = xV1
V3 = xV2
V4 = xV3
...
Vn+1 = xVn

Or on sait que V1+V2 = (1/2)V0
Et comme :
V2 = xV1 = x²V0
V1 = xV0
On a:
xV0+x²V0 = (1/2)V0
Et donc :
x² + x - 1/2 = 0
On résoud en calculant le discriminant :
delta = b² - 4ac = 1² - 4(1 * (-1/2))
delta = 1 + 2
delta = 3
D'où deux solutions possibles :
avec V la notation pour racine carrée
x1 = (-b-Vdelta)/2a
x2 = (-b+Vdelta)/2a

x1 = (-1 - V3)/2 exclue
x2 = (-1 + V3)/2 ~ 0,366

On retient x2 qui est > 0

On a ainsi en notant Vn le volume dans une vasque numéro n située en dessous de la vasque initiale dont le volume est V0, on a :
Vn = x^nV0 (x^n : x puissance n)

avec x = (-1 + V3)/2

Soit avec V0 = 1 m^3

Vn = [(-1 + V3)/2]^n

Quelques Vérifications :
V1 = (-1 + V3)/2
V2 = [(-1 + V3)/2]^2 = (1-2V3+3)/4 = (2-V3)/2

V1 + V2 = (-1 + V3)/2 + (2-V3)/2
V1 + V2 = 1/2 !...

Encore une vérif' :
V3 = [(-1 + V3)/2]^3 = [(2-V3)/2]((-1 + V3)/2)
= -(5/4) + (3V3)/4

V2 + V3 = (2-V3)/2 -(5/4) + (3V3)/4
V2 + V3 = (-1 + V3)/4
Et on a bien V2 + V3 = (1/2)V1

Allons un peu plus loin...
V4 = [(-1 + V3)/2]^4 = [-(5/4) + (3V3)/4]((-1 + V3)/2)
= 7/4-V3

V3 + V4 = -(5/4) + (3V3)/4 + 7/4-V3
V3 + V4 = (1/2)-(V3)/4
Et c'est bien égal à (1/2)V2 = (1/2)-(V3)/4
... ça marche bien avec cette hypothèse de proportionnalité !