Devoir maison de maths de 3 ème

[Meg30]

Bonjour, j'ai un problème sur un exercice et mon devoir est pour demain .
J'aimerais bien que quel'qun m'aide !!

LE NOMBRE RACINE CARREE DE 2 N'EST PAS UN NOMBRE RATIONNEL

Pour démontrer que racine carrée de 2 n'est pas un nombre rationnel, on utilise un raisonnement par l'absurde, c'est-à-dire que l'on commence par supposer que racine carrée de 2 est un nombre rationnel, puis on démontre que cette supposition conduit à une contradiction, donc cette supposition est fausse.

A) Résultats préliminaires

1. a) Quels sont les différents restes possibles dans la division euclidienne d'un nombre entier n par 2 ?
b) En déduire que, quel que soit le nombre entier n, on a n = 2q ou n = 2q + 1 ?
c) Comment appelle-t-on les nombres de la forme 2q +1 ?

2. Démontrer que le carré d'un nombre pair est pair est un nombre pair et que le carré d'un nombre impair est un nombre impair.

B) Démonstration

1. Supposons que racine carrée de 2 est un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il existe une fraction irréductible p sur q telle que : racine carrée de 2 = p sur q.
a) Justifier l'égalité : p² = 2q².
b) En déduire que p² est un nombre pair.
c) Utiliser la partie a) pour montrer que p est lui-même un nombre pair. On pose alors : p = 2n, n étant un nombre entier.
d) Expliquer pourquoi le nombre q est pair également. On appellera m le nombre entier tel que : q = 2m.

2. Que peut-on dire alors de la fraction p sur q ? Expliquer pourquoi cette conclusion est en contradiction avec l'hypothèse concernant la fraction p sur q.

3. Conclure.




merci de bien vouloir m'aider pour cet exercice :happy2:

[Timothé Lefebvre]

En vrai la démonstration est toute simple : voici celle de Gilles Costantini, ICI.

Voir Annexe 6, en bas de page.

[Meg30]

Pourriez-vous m'expliquer car je n'arrive pas à ouvrir ce fichier

[Timothé Lefebvre]

C'est un site internet, va sur http://www.bacamaths.net.