Demonstration aire triangle

Réponses à toutes vos questions du CP à la 3ème
aymeric63
Messages: 2
Enregistré le: 27 Fév 2008, 22:38

Demonstration aire triangle

par aymeric63 » 27 Fév 2008, 22:45

Bonjour,
mon fils en 4ème a l'exercice suivant à résoudre et moi-même je sèche :

AIR est un triangle quelconque. S est le milieu de [AI].
Construire le point E tel que E soit le symétrique de I par rapport à R.
Question :
Démontrer que RAS et RES ont la même aire.

Pour info mon fils n'a pas encore étudié THALES mais PYTHAGORE.
Mon but n'est pas de lui fournir la solution toute "cuite" mais de l'aider pour qu'il comprenne et qu'il puisse le faire lui-même.
En vous remerciant



Fitz
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par Fitz » 28 Fév 2008, 00:09

1) E est le symétrique de I par rapport à R alors R est le milieu de [IR] donc [IR] = [RE]

Théorème :
Si une droite passe par les milieux de 2 côtés d'un triangle
alors elle est parallèle au troisième côté.

2) puisque la droite (SR) passe par les milieux des cotés du traingle AIE alors (SR) est parrallèle à la droite (AE)

Soit la droite parallèle à la droite (AI) passant par R et G l'intersection de cette droite avec le droite (AE)

Réciproque au théorème précédent :
Si une droite passe par le milieu d'un côté d'un triangle, parallèlement à un
deuxième côté alors cette droite passe par le milieu du troisième côté

3) D'après cette réciproque G est le milieu de [AE]

4 )Par construction (RG) est parrallèle à (AI) donc l'angle AIR est égal à l'angle GRE

De 2) Le quadrilatère ASRG est un parallèlogramme donc [SR] = [AG]
De 3) [AG] = [GE]
De 2) et 3) [SR]=[GE]

Théorème : si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur, alors ces triangles sont isométriques.

De 1),3) et 4) les triangle AIR et le triangle RES sont isométriques or les triangles isométriques sont semblables est ont la même aire

donc l'aire du triangle AIR est égale à l'air du traingle RES

busard_des_roseaux
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par busard_des_roseaux » 28 Fév 2008, 00:33

Bjr,



Lemme:
Soit ABC un triangle et [AI] la médiane issue de A.
Alors les triangles AIB et AIC ont même aire.

démonstration du lemme:

Soit h la hauteur de ABC issue de A.
alors l'aire du triangle AIB:


De même:
l'aire du triangle AIC vaut:


d'où le lemme.

On pose l'aire du triangle IRS comme unité d'aire.
Comme le triangle AIE est semblable au triangle SIR , à un facteur 2,

:zen:

l'aire du triangle RSA vaut d'après le lemme

Comme A


d'après le lemme:



.

Cordialement,

busard_des_roseaux
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par busard_des_roseaux » 28 Fév 2008, 00:49

Fitz a écrit: les triangle AIR et le triangle RES sont isométriques


je ne pense pas. :hum:

Fitz
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par Fitz » 28 Fév 2008, 01:01

busard_des_roseaux a écrit:je ne pense pas. :hum:


moi non plus grosse erreur de ma part

saintlouis
Membre Rationnel
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par saintlouis » 28 Fév 2008, 01:36

Bonsoir
Aire RSI = aire RAS ( bases=, m^ hauteur)
Aire RSI= aire RSE ( idem.......................) Donc..

saintlouis
Membre Rationnel
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par saintlouis » 28 Fév 2008, 01:37


busard_des_roseaux
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par busard_des_roseaux » 28 Fév 2008, 01:45

saintlouis a écrit:Bonsoir
Aire RSI = aire RAS ( bases=, m^ hauteur)
Aire RSI= aire RSE ( idem.......................) Donc..


bien joué. :++:

Fitz
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par Fitz » 28 Fév 2008, 01:51

saintlouis a écrit:Bonsoir
Aire RSI = aire RAS ( bases=, m^ hauteur)
Aire RSI= aire RSE ( idem.......................) Donc..



Là applaudissez bien fort :king2: c'était si simple que s'en était compliqué :lol:

aymeric63
Messages: 2
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Merci

par aymeric63 » 28 Fév 2008, 09:22

Je vous remercie pour toutes vos réponses

 

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