Calcul de la corde d'un arc de cercle

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Barrett
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Calcul de la corde d'un arc de cercle

Messagepar Barrett » 23 Jan 2012, 13:25

Bonjour,

J'aimerais savoir comment calculer la corde d'un arc de cercle connaissant la longueur de l'arc et l'angle de la corde et d'une tangente.

Merci.



fal
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Messagepar fal » 23 Jan 2012, 13:54

la longueur de l arc est R*L'angle au centre du cercle qui inscrit cet arc;
considerant ton cas il va falloir trouver le rayon;
grafiquement si tu ne connais pas le centre tu peux tracer une petite corde differente de la premiere et tu traces les deux médiatrices de ces cordes;
le point de l intersection de ces deux cordes es le centre du cercle que tu cherches et R

SaintAmand
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Messagepar SaintAmand » 23 Jan 2012, 14:06

Barrett a écrit:J'aimerais savoir comment calculer la corde d'un arc de cercle connaissant la longueur de l'arc et l'angle de la corde et d'une tangente.


La longueur de l'arc et de l'angle au centre correspondant suffisent à déterminer la longueur de la corde.

1. On note R le rayon du cercle, la longueur de l'arc de cercle, et l'angle.
a. Rappeller la formule donnant la circonférence du cercle en fonction du rayon R.
b. Sachant que la longueur d'un arc de cercle est proportionnel à l'angle au centre, écrire une formule donnant en fonction de et de .
c. En déduire R.
2. On note O le centre du cercle, A et B les extrémités de la corde, et I le milieu de [AB]
a. Quelle est la nature du triangle OAB ?
b. En déduire la nature du triangle OIA.
c. Calculer IA.
d. Conclure.

Black Jack
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Messagepar Black Jack » 23 Jan 2012, 15:00

Barrett a écrit:Bonjour,

J'aimerais savoir comment calculer la corde d'un arc de cercle connaissant la longueur de l'arc et l'angle de la corde et d'une tangente.

Merci.


Quelle tangente ?

Si c'est une tangente au cercle passant par une des extrémités de la corde ... il faut le dire dans l'énoncé.

:zen:

Barrett
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Messagepar Barrett » 23 Jan 2012, 15:09

Black Jack a écrit:Quelle tangente ?

Si c'est une tangente au cercle passant par une des extrémités de la corde ... il faut le dire dans l'énoncé.

:zen:


C'est vrai, je vous prie de m'en excuser. Il s'agit bien d'une tangente au cercle passant par une des extrémités de la corde.

fal
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Messagepar fal » 23 Jan 2012, 16:07

1. On note R le rayon du cercle, la longueur de l'arc de cercle, et l'angle.
a. Rappeller la formule donnant la circonférence du cercle en fonction du rayon R.
la circonférence du cercle = 2 *pi*R

b. Sachant que la longueur d'un arc de cercle est proportionnel à l'angle au centre, écrire une formule donnant en fonction de et de .
l = R*theta

c. En déduire R.

2. On note O le centre du cercle, A et B les extrémités de la corde, et I le milieu de [AB]
a. Quelle est la nature du triangle OAB ?
isocele si theta pi/2; sinon rectangle isocele

b. En déduire la nature du triangle OIA.
rectangle en I

SaintAmand
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Messagepar SaintAmand » 23 Jan 2012, 16:12

fal a écrit:isocele si theta pi/2; sinon rectangle isocele


Un rectangle isocèle est à fortiori isocèle.

b. En déduire la nature du triangle OIA.
rectangle en I


Ok. Continue.

Black Jack
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Messagepar Black Jack » 23 Jan 2012, 18:26

Fais un dessin.

La tangente est perpendiculaire au rayon du cercle qui aboutit au point de tangence.
---> tu as un angle de 90° entre ce R et la tangente.

Connaissant l'angle entre la tangente et la corde, tu peux alors en déduire immédiatement l'angle entre le rayon et la corde.

Le triangle dont les cotés sont la corde et les 2 rayons aboutissant aux extrémités de la corde est évidemment isocèle (2 cotés de mesure R)
Tu peux donc trouver ses 3 angles (en se rappelant que la somme des mesures des angles d'un triangle = 180°)

Tu as donc maintenant la mesure de l'angle au centre qui sous-tend la corde et tu connais la longueur de l'arc ---> tu peux calculer R.
Et ensuite la longueur de la corde.

:zen:

Barrett
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Messagepar Barrett » 23 Jan 2012, 19:10

Black Jack a écrit:Fais un dessin.

La tangente est perpendiculaire au rayon du cercle qui aboutit au point de tangence.
---> tu as un angle de 90° entre ce R et la tangente.

Connaissant l'angle entre la tangente et la corde, tu peux alors en déduire immédiatement l'angle entre le rayon et la corde.

Le triangle dont les cotés sont la corde et les 2 rayons aboutissant aux extrémités de la corde est évidemment isocèle (2 cotés de mesure R)
Tu peux donc trouver ses 3 angles (en se rappelant que la somme des mesures des angles d'un triangle = 180°)

Tu as donc maintenant la mesure de l'angle au centre qui sous-tend la corde et tu connais la longueur de l'arc ---> tu peux calculer R.
Et ensuite la longueur de la corde.

:zen:

Merci pour ta réponse claire.
La valeur de l'angle au centre n'est-elle pas toujours le double de la valeur de l'angle entre la tangente et la corde? Ça me ferait des calculs en moins.
A partir de là, je ne sais malheureusement pas calculer le rayon et la corde.

Black Jack
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Messagepar Black Jack » 23 Jan 2012, 19:22

Barrett a écrit:Merci pour ta réponse claire.
La valeur de l'angle au centre n'est-elle pas toujours le double de la valeur de l'angle entre la tangente et la corde? Ça me ferait des calculs en moins.
A partir de là, je ne sais malheureusement pas calculer le rayon et la corde.


Ok, si tu connais cette propriété.
Sinon, tu arrives bien à ce résultat en suivant la méthode que j'ai indiquée.

Si alpha est l'angle entre la tangente et la corde, l'angle au centre est : theta = 2 alpha..

Et on a : Longeur de l'arc = theta * R (avec theta en radians)

---> tu peux trouver R

Et on trouve alors la longueur de la corde facilement puisque du connais 2 cotés (R) du triangle dont j'ai parlé dans mon message précédent et l'angle compris entre les 2 cotés connus.

Soit en "coupant le triangle en 2 triangles rectangles et utiliser les relations connues dans les triangles rectangles.
Soit avec Alkashi (loi des cosinus) dans le triangle "complet".

:zen:

Barrett
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Messagepar Barrett » 23 Jan 2012, 19:53

Black Jack a écrit:Ok, si tu connais cette propriété.
Sinon, tu arrives bien à ce résultat en suivant la méthode que j'ai indiquée.

Si alpha est l'angle entre la tangente et la corde, l'angle au centre est : theta = 2 alpha..

Et on a : Longeur de l'arc = theta * R (avec theta en radians)

---> tu peux trouver R

Et on trouve alors la longueur de la corde facilement puisque du connais 2 cotés (R) du triangle dont j'ai parlé dans mon message précédent et l'angle compris entre les 2 cotés connus.

Soit en "coupant le triangle en 2 triangles rectangles et utiliser les relations connues dans les triangles rectangles.

Soit avec Alkashi (loi des cosinus) dans le triangle "complet".

:zen:


Merci, j'ai tout compris. Heureusement que tu as précisé que theta est en radians! J'aurais passé pas mal de temps à me fourvoyer.

Barrett
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Messagepar Barrett » 23 Jan 2012, 20:40

fal a écrit:1. On note R le rayon du cercle, la longueur de l'arc de cercle, et l'angle.
a. Rappeller la formule donnant la circonférence du cercle en fonction du rayon R.
la circonférence du cercle = 2 *pi*R

b. Sachant que la longueur d'un arc de cercle est proportionnel à l'angle au centre, écrire une formule donnant en fonction de et de .
l = R*theta

c. En déduire R.

2. On note O le centre du cercle, A et B les extrémités de la corde, et I le milieu de [AB]
a. Quelle est la nature du triangle OAB ?
isocele si theta pi/2; sinon rectangle isocele

b. En déduire la nature du triangle OIA.
rectangle en I


Merci à toi et à SaintAmand. Avec votre aide et celle de Black Jack je pense pouvoir résoudre mon problème.

 

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