Un classique

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: Zweig

Soit f : \mathbb{Z}^{2}\mathbb{\rightarrow N} une fonction vérifiant :

4f(x,y) = f(x-1,y) + f(x,y+1) + f(x+1,y) + f(x,y - 1)

Montrer que f est constante.


Posted by: ThSQ

Ouais c'est surement un classique (mais je le connaissais pas).

Ca revient à mettre des valeurs entières dans le plan de façon que chaque case soit la moyenne de ces 4 voisines. Marrant.

Dans le cas discret c'est pas trop dur car on prend la case avec le plus petit nombre (existe forcément). Ces 4 voisins doivent avoir la même valeur nécessairement. Et on "contamine" tout le plan comme ça.


Question naturelle et immédiate : est-ce encore vrai si on remplace IN par IR+ par exemple ?? (on a envie de dire oui mais c'est moins immédiat non ?)


Posted by: Zweig

Oui, c'est toujours vrai, mais la démonstration est beaucoup plus difficile puisque tu ne peux plus utiliser le principe de l'extremum car un ensemble de réels positifs n'a pas nécessairement de plus petit élément.


Posted by: Imod

Le problème ( assez connu en effet ) a bien une solution courte mais un "brin" astucieuse . Je donnerais une indication si personne ne trouve

Imod


Posted by: _-Gaara-_

Salut,

C'est utile de démontrer qu'elle est paire ??


Posted by: Zweig

Imod > Bah les indications, ThSQ les a données


Posted by: ffpower

il parlait de la generalisation dans R+ je pense


Posted by: Zweig

"Dans le cas discret c'est pas trop dur car on prend la case avec le plus petit nombre (existe forcément). Ces 4 voisins doivent avoir la même valeur nécessairement. Et on "contamine" tout le plan comme ça."


Posted by: Imod

Citation:
Posté par Zweig
Imod > Bah les indications, ThSQ les a données

En effet , j'ai lu trop vite je pensais à la généralisation proposée par ThSQ : je sais le faire quand la fonction est bornée à valeurs réelles .

Imod


Posted by: Zweig

On avait eu ce problème (le mien) durant un stage d'Animath cet été et le professeur nous donnant le cours (Xavier Caruso pour les connaisseurs) avait oublié la solution si j'ai bonne mémoire. J'aimerais donc voir ta démonstration (si elle est à ma portée).


Posted by: Imod

Citation:
Posté par Zweig
J'aimerais donc voir ta démonstration (si elle est à ma portée).

La solution que je connais est de niveau terminale si les TS savent toujours qu'une partie bornée de \mathbb{R} a une borne supérieure . Je donnerais ma solution ( ou un indice ) dès que je trouverais un moment entre deux paquets de copies ( je suis un peu débordé en ce moment ) .

Imod


Posted by: lapras

Mais de toute façon, je ne vois pas le problème vu qu'on a le principe de la borne sup dans IR, ca "remplace" le fait que tout ensemble non vide de IN admet un plus petit élément ?


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par lapras
Mais de toute façon, je ne vois pas le problème vu qu'on a le principe de la borne sup dans IR, ca "remplace" le fait que tout ensemble non vide de IN admet un plus petit élément ?


Mmmm, borne inf ne veut pas dire plus petit élément ....

Les extrémums de f ne sont pas forcément atteints sinon c'est de la tarte ( .....).


Posted by: Imod

J'ai retrouvé les notes que j'avais prises sur ce problème mais je n'ai pas trop le courage de mettre tout ça au propre . Quelques remarques pouvant aider ceux qui veulent chercher ( sinon il faudra attendre un peu pour la solution ). Une fonction bornée f de \mathbb{Z}^2 dans \mathbb{R} est dite harmonique si : \forall (x,y) \in \mathbb{Z}^2 :4f(x,y)=f(x-1,y)+f(x+1,y)+f(x,y-1)+f(x,y+1) . L'ensemble des fonctions harmoniques est un espace vectoriel sur \mathbb{R} contenant les constantes . De plus si f est harmonique alors g(x,y)=f(x+1,y)-f(x,y) est aussi harmonique . En supposant f non constante , je vous laisse trouver une contradiction

Imod


Posted by: Imod

J'ai ouvert un sujet similaire sur le site Les Mathématiques.net ( Domi=Imod ) J'invite ceux que ça intéresse à y jetter un coup d'oeil

Imod

Mathematiques.net


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par Imod
De plus si f est harmonique alors g(x,y)=f(x+1,y)-f(x,y) est aussi harmonique .


Waouh ... Fallait y penser


Posted by: ffpower

chui en train de réfléchir avec un pote sur cet exo(dans le cas général bien sur^^).Ché pas si ca peut aider mais je crois avoir réussi a montrer qu une fonction harmonique positive était forcément a croissance linéaire


Posted by: jugurthamoi

salut, regardez ce truc... qu'en pensez-vous ?
On commence par développer tous les termes un à un :

.f(x-1,y)=f(x-2,y)+f(x-1,y+1)+f(x,y)+f(x-1,y-1)
.f(x,y+1)=f(x-1,y+1)+f(x,y+2)+f(x+1,y+1)+f(x,y)
.f(x+1,y)=f(x,y)+f(x+1,y+1)+f(x+1,y-1)+f(x+1,y-1)
.f(x,y-1)=f(x-1,y-1)+f(x,y)+f(x+1,y-1)+f(x,y-2)

En sommant tous les membres, j'obtiens à gauche :la formule de définition, à droite j'ai une somme bizarre mais avec 4f(x,y) .

En simplifiant il reste 0=f(x-2,y)+ ...+f(x+1,y+1)+...+f(x,y-2).
Comme f est dans N alors la somme de termes positifs est nulle ssi chaque terme est nul. En particuler: f(x+1,y+1)=0.
or si je pose p=x+1 et q=y+1 sont dans Z donc:
pour tout p,q dans Z:
f(p,q)=0

Conclusion: f est identiquement nulle.


Posted by: ffpower

T as oublié les 4 devant les termes de gauche.ce serait trop facile^^.Cela dit ca permet d exprimer f(x,y) comme la moyenne de f sur un contour un peu plus grand. c est comme ca que j ai d ailleurs reussi a obtenir la croissance sous linéaire de f...


Posted by: jugurthamoi

Oups! t'as raison. je l'ai fait a une heure du matin, faut que j'arrette de bosser a cette heure là ...










-