je cherche la primitive dune fonction

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Posted by: Non inscrit

bonjour a tous jai chez moi une cuve a fioul cylindrique dont je voudrais realiser un abaque indiquant le volume a linterieur de celle ci en fonction de la hauteur de fioul Malheureusement cette cuve est couchee sur sa hauteur pour realiser labaque il me faut donc la primitive de la fonction suivate
y= racine carre de ( r2-(r-h)2) lire r2 r au carré


Merci davance


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par Non inscrit
bonjour a tous jai chez moi une cuve a fioul cylindrique dont je voudrais realiser un abaque indiquant le volume a linterieur de celle ci en fonction de la hauteur de fioul Malheureusement cette cuve est couchee sur sa hauteur pour realiser labaque il me faut donc la primitive de la fonction suivate
y= racine carre de ( r2-(r-h)2) lire r2 r au carré


Merci davance

Es-tu sûr d'avoir besoin d'intégrer ?
La section de ton cylindre est un cercle. Si la cuve est partiellement pleine jusqu'à une hauteur h, tu dois multiplier la surface définie par une portion de cercle et une corde, par la largeur de ta cuve. Il ne me semble pas nécessaire de faire une intégration, bien que cela soit malgré tout une méthode possible, mais complexe, car ton résultat devrait contenir un arccos !
En effet, pour calculer la surface de la partie immergée d'une section de ton cylindre, si h<r, tu peux dire que cette surface est la différence entre la surface du secteur circulaire défini par les bords du liquide, soit theta*r², si theta est le demi angle au centre, soit theta=arccos((r-h)/r), et la surface du triangle défini par le centre du cercle et les bords du liquide, soit (r-h)*racinede(r²-(r-h)²) donc :
V = L * { arccos((r-h)/r) *r² - (r-h)*racinede(r²-(r-h)²)}
si L est la largeur de ta cuve.
Cette formule est a priori valable pour h<r.
Si h>r alors la surface cherchée est cette fois la somme de (et non la différence entre) ces deux surfaces. Mais comme la surface du triangle devient (h-r)*racinede(r²-(r-h)²), finalement, la formule est la même dans tous les cas :

V = L * { arccos((r-h)/r) *r² - (r-h)*racinede(r²-(r-h)²)}

Bien sûr, tu peux aussi faire une intégration, mais c'est plus dur...

J'ai répondu un peu vite, j'espère que je ne me suis pas trompé. En tout état de cause, je pense que tu peux refaire le raisonnement pour vérifier...
@+


Posted by: cesar

bonjour,
la position du centre de gravité de la surface libre du carburant ne depend pas de l'inclinaison. ---> cela permet de voir le niveau comme si le cylindre était vertical..le reste est facile...


Posted by: nathanael

merci a vous deux de me repondre
pour le delire du centre de gravité je nai malheureuesement pas le niveau pour pouvoir utiliser lol
sinon merci pour la formule avec raisonnement par les angles cela va me permettre de veriifier la primitive de ma fonction

au cas cela interesse certains ma methode par primitive consiiste a se servir du fait que l integration dune fonction sur un interval represente laire entre laxe des abscisses et la courbe de la fonction
l axe des absices etant representer par laxe de la hauteur du niveau de fioul lorigine etant au centre la cuve et le max pour une valeur R
la fonction decrivant la courbe de la cuve est donc
y=racine carré de ( R2-(R-h)2)
et la primitive Y=R2x-(R-h)2tanx avec x=arccos(1-h/R) et travailler en radian pour valeur de x

ensuie il suffit donc dintegrer cette fonction entre R et h puis de multiplier le resultat par deux pour avoir lautre moitiee de cuve
et comme la dit chimerade si h superieur a R on ajoute au volume de la moitiee de la cuve le volume represente par une hauteur de fioul equovalente a h-R

pour la verification je vais regarder si les volumes sont correct pour une hauteur egale au rayon pour laquelle on doit trouver un volume = a 1/2 du vol total du cylindre


encore merci pour vos conseils cest sympa de tomber sur de bon sites reactifs
la on voit linteret du net a etre en contact avec tant de personnes
merci encore je vais enfin pouvoir estimer ma conso annuelle de fioul


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par nathanael
la fonction decrivant la courbe de la cuve est donc
y=racine carré de ( R2-(R-h)2)
et la primitive Y=R2x-(R-h)2tanx avec x=arccos(1-h/R) et travailler en radian pour valeur de x

ensuie il suffit donc dintegrer cette fonction entre R et h puis de multiplier le resultat par deux pour avoir lautre moitiee de cuve

Je ne suis pas d'accord. J'ai moi aussi fait l'intégration et je trouve bien entendu exactement le même résultat :

La surface de la section est 2* \int_0^h\sqrt{2yr-y^2}dy

qui est égal à

arccos(\frac{r-h}{r})*r^2+(h-r)*\sqrt{r^2-{(r-h)}^2}
soit exactement le même résultat que le calcul direct que je t'avais donné hier. Et je pense que la primitive que tu as trouvée : Y=R2x-(R-h)2tanx avec x=arccos(1-h/R) n'est pas compatible avec mon résultat, obtenu avec deux méthodes différentes. Vérifie. (évidemment, je peux quand même me tromper ! Faut voir) (je ne parle pas de ta faute de frappe arccos(1-h/R) au lieu de arccos(R-h/R))

Par ailleurs, la vérification que tu proposes,
Citation:
Posté par nathanael
pour la verification je vais regarder si les volumes sont correct pour une hauteur egale au rayon pour laquelle on doit trouver un volume = a 1/2 du vol total du cylindre

est vraiment un minimum. Je crains bien que le fait que l'on tombe sur le volume moitié du cylindre lorsque h=r, ne garantisse pas grand chose...C'est vrai que c'est difficile de vérifier...Tu peux peut-être faire une intégration par programme et voir si ça colle pour différentes valeurs de h.


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par cesar
bonjour,
la position du centre de gravité de la surface libre du carburant ne depend pas de l'inclinaison. ---> cela permet de voir le niveau comme si le cylindre était vertical..le reste est facile...

Ave cesar
Je ne comprends pas grand-chose à ton post. Nathanael a pris cela pour une plaisanterie ("le delire du centre de gravité"). Ben peut-être, peut-être pas.
Explique un peu...


Posted by: cesar

bonsoir
j'ai un peu deliré dans la façon de le presenter, mais pas inventé : theoreme d'EULER

"L'intersection de deux flottaisons isocarene infiniment voisins passe par le centre de gravité de chacune des flotaisons."

corollaire : "toutes les flottaissons isocarenes enveloppent une surface : la surface de flotaison, qui est en même tempsle lieu du centre de gravité des flottaisons"

P 41 du tome 1 de la Mecanique experimentale des fluides de R Comolet chez masson.

il donne aussi dans la même page une application :

"considerons un reservoir contenant du liquide et susceptible de subir des variations d'orientation. ... La surface libre est toujours plane et pour une contenance donnée, limite un volume constant constituant une veritable flottaison isocarene. Elle passe donc par un point fixe qui est le centre de gravité 0 de la surface libre en position normale. C'est en ce point qu'il y aura lieu de placer le systeme détecteurd'un indicateur de niveau.."

c'est bien le cas qui nous occupe ici, pas vrai??? ou bien je suis encore à coté de mes souliers...


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par cesar
j'ai un peu deliré dans la façon de le presenter

Ave cesar
Ben là tu y es allé plutôt fort...
Je confesse mon ignorance en ce qui concerne les flottaisons isocarènes...

Mais, permets moi un contre exemple à ta conclusion plutôt hâtive. Si le cylindre est vertical et contient un dixième de sa capacité, le liquide ira jusqu'au dixième de la hauteur en bas : appelons B le point central. À présent, retournons le cylindre ; le liquide ira bien sûr de l'autre côté (anciennement le côté haut). Le centre sera donc au dixième de la hauteur, à partir du côté haut (qui se trouve à présent en bas) : appelons ce point H. Prétends-tu que B et H sont confondus ? Autre exemple : une bouteille d'évian contenant 300 gouttes d'eau, assez pour faire une petite mare d'un millimètre d'épaisseur au fond de la bouteille (attention, de l'évian, pas de la contrex, sinon il faut que je refasse tous mes calculs...). Tu la retournes, d'après ma grande expérience je t'affirme que les 300 gouttes d'eau vont se retrouver dans le goulot, et ça fera 20 millimètres d'épaisseur, peut-être. Où se trouve le point fixe dont tu veux parler ?

Je capitalise sur les connaissances que j'ai accumulées il y a deux minutes à la lecture de ton post :

Citation:
Posté par cesar
corollaire : "toutes les flottaissons isocarenes enveloppent une surface : la surface de flotaison, qui est en même tempsle lieu du centre de gravité des flottaisons"


Cette surface dont tu parles, a-t-elle tous ses points confondus ? Si l'on parle d'une surface, c'est que ce lieu contient une infinité de points distincts...

Je veux bien admettre son existence (surtout si c'est Euler qui l'a dit !). Mais il reste quand même à déterminer sa forme, ce qui est loin d'être évident, et en tout état de cause cela me paraît un peu plus compliqué qu'une simple intégration.

Citation:
Posté par cesar
"L'intersection de deux flottaisons isocarene infiniment voisins passe par le centre de gravité de chacune des flotaisons."


Certes ! Mais je ne crois pas que la flottaison obtenue lorsque ton cylindre est horizontal soit infiniment voisine de celle qui est obtenue lorsque le cylindre est vertical...
Citation:
Posté par cesar
"considerons un reservoir contenant du liquide et susceptible de subir des variations d'orientation. ... La surface libre est toujours plane et pour une contenance donnée, limite un volume constant constituant une veritable flottaison isocarene. Elle passe donc par un point fixe qui est le centre de gravité 0 de la surface libre en position normale. C'est en ce point qu'il y aura lieu de placer le systeme détecteurd'un indicateur de niveau.."

Je conteste que la surface libre passe par un point fixe. À la rigueur, je pourrais admettre que la vitesse du centre de gravité soit nulle, mais même cela peut-être contredit par une expérience encore plus élémentaire. Il suffit de prendre une sphère parfaite remplie d'eau au tiers de sa capacité. Le centre de la surface libre est à l'évidence le point de la surface situé au dessous du centre de la sphère ; ce qui montre que si on fait tourner la sphère lentement à vitesse constante, la surface libre va tourner dans la sphère dans le sens contraire et son centre va gentiment décrire un cercle à vitesse constante, et non nulle.

C'est vrai que je connais absolument rien aux flotaisons isocarènes mais,

Nathanael avait raison : c'est bien une plaisanterie :D


Posted by: cesar

les contre exemples que tu cites ne sont pas des "isocarenes", alors que ce sont des "isovolumes".
Cela ne fonctionne tant que l'on reste dans le cadre du theoreme :

tant que la surface du liquide touche la surface laterale du cylindre, si tu l'inclines (mais pas de 180 ° evidement...), tu es dans l'isocarene et cela marche. Mais si ta surface, apres inclinaison, touche la base inferieure ou superieur du cylindre , tu n'est plus dans l'isocarene. En somme, cela marche, si il y a suffisamment de liquide et/ou si le liquide ne remplit pas trop le cylindre et si l'on incline pas trop le reservoir...

au niveau pratique : prends un cylindre et coupes le par un plan au niveau de la surface laterale. Si la cassure est perpendiculaire à l'axe, tu auras un certain volume V et un centre de gravité G pour la surface de la cassure (peu importe le coté du cylindre choisi pour le volume, si cela marche pour l'un, cela marche aussi pour l'autre). Si tu refais la même chose, mais avec une coupure "en biais", pas trop inclinée pour ne pas toucher les bases du cylindre et passant par le centre de gravité G de la premiere surface. Tu dois obtenir le meme volume V...


Posted by: Non inscrit

Citation:
Posté par cesar
les contre exemples que tu cites ne sont pas des "isocarenes", alors que ce sont des "isovolumes".
Cela ne fonctionne tant que l'on reste dans le cadre du theoreme :


Cela m'apprendra à me taire quand je n'y connais rien ! Note bien que j'avais annoncé la couleur :
Citation:
Je confesse mon ignorance en ce qui concerne les flottaisons isocarènes...


Mais on ne se refait pas, j'avais quand même envie de dire quelque chose...

Bref, le problème est que je ne sais pas ce que c'est qu'une isocarène (ou un ?), pas plus qu'un isovolume (ou une ?).

Cependant, je ne comprends pas pourquoi tu sors ce théorème dont il me semble qu'il est inapplicable ici : car quel bouleversement plus grand qu'une rotation de 90° peut on imaginer pour un cylindre (qui était vertical, et qui devient horizontal) ? Il me semble clair que si tu pars d'un cylindre vertical, on pourra évaluer directement sa contenance en regardant le niveau h du liquide dans cette position : la contenance sera alors h*{\pi}r^2 (c'est bien ce que tu as voulu dire, non ?). Bon ! Maintenant, sans toujours savoir les règles qui président à la définition d'une isocarène, je suppose que si l'on fait tourner de 90° notre cylindre, à un moment ou à un autre, on va violer ces règles, et ceci quelle que soit la contenance du cylindre : au départ la surface est un disque parfait, à l'arrivée, c'est un rectangle ! Si ce que je dis est correct, tu ne pourras pas en déduire la hauteur h lorsque cette rotation de 90° sera achevée !
D'ailleurs tu dis toi même :
Citation:
Posté par cesar
tant que la surface du liquide touche la surface laterale du cylindre, si tu l'inclines (mais pas de 180 ° evidement...), tu es dans l'isocarene et cela marche. Mais si ta surface, apres inclinaison, touche la base inferieure ou superieur du cylindre , tu n'est plus dans l'isocarene. En somme, cela marche, si il y a suffisamment de liquide et/ou si le liquide ne remplit pas trop le cylindre et si l'on incline pas trop le reservoir...

En d'autres termes, tu ne peux pas, pour la résolution pratique du problème de Non inscrit, utiliser le théorème que tu proposes. Je te rappelle qu'il voudrait évaluer la contenance de son réservoir à partir de la hauteur du liquide quelle que soit cette hauteur, entre 0 et 2r !
Par conséquent, je ne vois toujours aucun moyen d'utiliser ton théorème pour résoudre le problème de Non inscrit.


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par Non inscrit
Cela m'apprendra à me taire quand je n'y connais rien ! Note bien que j'avais annoncé la couleur :...


OOOps ! J'avais oublié de m'identifier...

Ce non inscrit-là, c'est moi !


Posted by: nathanael

encore merci chimerade pour mavoir donnee la formule permettant destimer le volume de ma cuve
cependant jai une derniere question lol
tu me donne y(vol)=arccos X je voudrais savoir si je fais travailler ma calculette en radian ou en degre pour la valeur de X


pour ce qui est des isocarenes il est vrai que cela semble applicable pour un cylindre vertical incliné pour lesquelles si jai bien compris les lignes de niveau du liquide doivet passer par un point particulier a partir du quel on peut definir le volume cependant dans le cas dun cylindre horizintal l angle est vraiment trop fort et il est evident quon ne pourra deduire le volume de la cuve en multipliant la surface de la base par un facteur variable h a moins que ce facteur hauteur ne soit controle par un autre parametre disons tetha qui permet dajuster la valeur de h en fonction de linclinaison de la cuve mais bon ca doit etre pour un balaise ca lol
je vais passer a la phase technique et allez mesurer les dimensions de ma cuve encastrer au milieu des araignees, apres pour la science je m en vais pour fort boyar ;)

bonne continuation a tous


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par nathanael
tu me donne y(vol)=arccos X je voudrais savoir si je fais travailler ma calculette en radian ou en degre pour la valeur de X

Cela est question de logique. Pour le savoir, tu peux prendre les points extrêmes. Par exemple :

\Large V = L * { arccos(\frac{r-h}{r}) * r^2 - (r-h) * \sqrt{(r^2-(r-h)^2)}}
Pour h=2r, tu auras \Large V = L * \pi r^2 puisqu'alors ton cylindre est plein. Or la formule te donne :
\Large V = L * { arccos(\frac{r-2r}{r}) * r^2 - (r-2r) * \sqrt{(r^2-(r-2r)^2)}}
Soit :
\Large V = L * { arccos(\frac{-r}{r}) * r^2 - (-r) * \sqrt{(r^2-(-r)^2)}}

\Large V = L * { arccos(-1) * r^2 + r * \sqrt{(r^2-r^2)}}

\Large V = L * { arccos(-1) * r^2 + r * \sqrt{0}}

\Large V = L * { arccos(-1) * r^2
En comparant cette formule avec la première : \Large V = L * \pi r^2, tu vois qu arccos(-1) est égal à \Large \pi. Il faut donc mettre ta calculatrice sur "radians".










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