Cherche formules avec combinaisons

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Posted by: busard_des_roseaux

Bonjour à tous,

Je dois passer un oral sous peu. .Je suis à la recherche de formules
du style:

\displaystyle ( _{n}^{2n} )=\sum_{k=0}^{n} \, {( _{k}^{n} )} ^2

peut être mieux, de recettes pour en démontrer en rafales

merçi d'avance.


Posted by: Clembou

Citation:
Posté par busard_des_roseaux
Bonjour à tous,

Je dois passer un oral sous peu. .Je suis à la recherche de formules
du style:

\displaystyle ( _{n}^{2n} )=\sum_{k=0}^{n} \, {( _{k}^{n} )} ^2

peut être mieux, de recettes pour en démontrer en rafales

merçi d'avance.


Bonsoir,

Un bon cours de combinatoire te donnera plus de formules avec les Cnk... Par exemple : http://www.pps.jussieu.fr/~kesner/e...ombinatoire.pdf


Posted by: Aspx

Pour en obtenir à la pelle il faut regarder le polynôme (1+X)^n puis le dériver, le multiplier par lui même...

Exemples :
\displaystyle (_n^{2n}) = nième coeff de (1+X)^{2n} = nième coeff de \displaystyle (1+X)(1+X) = \sum_{k=0}^n (_k^n)^2

\displaystyle (1+X)^n = \sum_{k=0}^n (_k^n) X^k
Donc \displaystyle n(1+X)^{n-1} = \sum_{k=1}^n k (_k^n) X^k
Puis X=1

etc...


Posted by: busard_des_roseaux

et puis aussi:

(1+X)^{\phi(n)}

où \phi est à valeurs entières.










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