Mathématiques - Charge dans un champ magnétique et électrostatique constants

Charge dans un champ magnétique et électrostatique constants
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Posted by: valentin.b

Bonjour,

Pour tuer l'ennui, je me suis amusé à trouver les équations du mouvement d'une charge ponctuelle dans un champ électromagnétique constant :
$4$ \vec{B}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ B \\ \end{matrix}$
Bien sûr je me suis simplifé la vie avec le champ magnétique; et :
$4$ \vec{E}= \begin{pmatrix} E_{x} \\ E_{y} \\ E_{z} \\ \end{matrix} $

Avec donc :
$4$ \frac{d\vec{E}}{dt}=\vec{0};\frac{d\vec{B}}{dt}= \vec{0}$

En commençant par résoudre le système d'équation homogène (sans le champ électrique) :
$4$ \frac{d\vec{v}(t)}{dt}=\frac{q}{m} [\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B}]$

En utilisant ensuite deux techniques différentes pour trouver la solution particulière, je trouve invariablement le résultat suivant :
$4$ \vec{v}(t)=\begin{pmatrix} cos(\omega t) & sin(\omega t) & 0 \\ -sin(\omega t) & cos(\omega t) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \vec{v}_{0} +\frac{1}{B}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \omega t \\ \end{matrix} \vec{E} $

Où :
$4$ \omega=\frac{qB}{m}$

Je ne comprend pas vraiment le résultat :
. En présence du champ magnétique seul, la particule tourne autour du vecteur champ magnétique (suivant sa vitesse intiale en suivant un cercle ou une hélice).

. En présence des deux champ, une particule sans vitesse initiale n'a pas l'aire d'être soumise au champ magnétique (le terme avec la matrice de rotation n'intervient plus). Certes l'influence dûe au champ électrostatique est un peu "gauche", mais la particule n'a plus ce mouvement de rotation autour du champ magnétique.

C'est frappant en disant comme ça :
On prend l'équation sans vitesse initiale, on laisse la particule prendre de la vitesse ... Elle ne "tourbillonne" pas.
On reconsidère la particule plus tard (à un intant quelconque) alors qu'elle a une vitesse, on récrit le principe fondamental de la dynamique, etc ... Comme les mêmes forces agissent sur la particule, sa vitesse prend la même forme (en changeant l'origine des temps), et là, on ne décrit plus le même mouvement puisque le terme avec la matrice de rotation réaparait ...

Où j'ai fait l'erreur ?

Posted by: vingtdieux

Il me semble que le deuxieme terme de la solution v(t) n'est pas bon. On a tout simplement par integration v(t)=....+q/m (Vect E).t. Si on veut introduire une matrice 3x3, la première ligne c'est 1 0 0.

Posted by: valentin.b

Il me semblais aussi, mais essaie le second terme dans l'équation, il marche ...

Et puis comment tu trouves une solution par intégration ?? Tu intègres quoi et quand ? T'es pas allé un peu vite ^^ ?

Posted by: vingtdieux

http://photomaniak.com/upload/out.p...672_matrice.jpg

Posted by: valentin.b

Et le terme du champ magnétique ?

$4$ q\vec{v} \times \vec{B}$

Puisqu'en plus ta méthode ne donne pas une vitesse nulle ... Je ne comprend pas d'où ça vient.

Je peux donner la méthode que j'ai utilisée pour résoudre :
J'ai commencée par résourdre le système homogène (ça partais aussi d'une envie de révider les maths avec les diagonalisation de matrices, les vecteurs propres, etc ... Même si je sais qu'il y a plus simple).
Ensuite j'ai utilisée une méthode de mon cours et j'ai utilisé la variation de la constante. Ces deux méthodes me donnent la même chose.

Posted by: valentin.b

Si j'explicite, j'ai le système d'équations différentielles suivant :
$4$ \frac{d\vec{v}}{dt}-M\vec{v}=\frac{q}{m} \vec{E} $

Avec :
$4$ M=\begin{pmatrix} 0 & \omega & 0 \\ -\omega & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} $

Où :
$4$ \omega=\frac{qB}{m}$

Les vecteurs et valeurs propres de la matrice M sont :
$4$ 0\rightarrow\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{matrix}; -i\omega\rightarrow\begin{pmatrix} i \\ 1 \\ 0 \\ \end{matrix}; i\omega\rightarrow\begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 0 \\ \end{matrix}$

Je fais les calcul et je trouve que :
$4$ exp(tM)=\begin{pmatrix} cos(\omega t) & sin(\omega t) & 0 \\ -sin(\omega t) & cos(\omega t) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}$

Pour l'équation homogène j'ai le résultat dit plus haut.

Maintenant pour trouver la solution générale de l'équation avec second membre, soit j'utilise la variation de la constante soit je cherche une solution particulière de la forme :
$4$ exp(-tM)\vec{G(t)}$

Où $\vec{G}(t)$ est une primitive de :
$4$exp(-tA)\frac{q}{m} \vec{E}$

Posted by: vingtdieux

On a une equation differentielle vectorielle du premier ordre avec second membre. On la résoud comme en analyse, solution générale plus solution particuliere. Ce que je donne c'est la solution paticulière. On remarquera que c'est dual de second membre égal à une constante pour équat dif ordinaire.
Votre premier terme semble correct pour la solution générale.

Posted by: valentin.b

Citation:

Posté par vingtdieux

On a une equation differentielle vectorielle du premier ordre avec second membre. On la résoud comme en analyse, solution générale plus solution particuliere. Ce que je donne c'est la solution paticulière. On remarquera que c'est dual de second membre égal à une constante pour équat dif ordinaire.
Votre premier terme semble correct pour la solution générale.

Je ne te comprend toujours pas. Pourais tu me montrer ta démarche (complète, je pense que notre désaccord est là).