Mathématiques - Changement de variable

Changement de variable
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: chiantigallo

J'étudie la mecanique quantique en ce moment.
J'ai quelques difficultés de maths lorsque je résous l'équation de Schrodinger pour l'oscillateur harmonique :

${-}\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi (x)}{dx^2}+\frac{m\omega^2}{2}x^{2}\psi (x) = E \psi (x)$

Dans mon livre on effectue le changement de variable suivant : $\xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x$

et on obtient pour l'equation de Schrodinger le résultat suivant :

$\frac{\hbar w }{2}\frac{d^{2}\psi (\xi)}{d{\xi}^2}+E\psi (\xi) - \frac{\hbar \omega}{2}{\xi}^{2}\psi (\xi)=0$

Je ne comprends pas comment on passe de $\frac{d^{2}\psi (x)}{dx^2}$ à $\frac{d^{2}\psi(\xi)}{d{\xi}^2}$

J'ai essayé de la manière suivante :

$\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=\frac{d^{2}\psi}{d{\xi}^2 }\frac{d^{2}\xi}{dx^{2}}$

mais ça ne marche pas (je n'obtiens pas le résultat voulu), ou est mon erreur ?

Merci d'avance !

Iak

Posted by: seb8392

Bonjour ! Es tu sur de ta formule d²psi/dx² = d²psi/dxi² * d²xi/dx²?

Elle est valable si tu dérive une fois, soit dpsi/dx = dpsi/dxi * dxi/dx?

mais quand tu dérives deux fois tu dois faire attention au fait que tu dérives un produit de fonction... Sinon, c'est bien l'idée, si tu tiens absolument à faire ce changement de variable...

Sinon, ben bonne chance, parce que la phyQ...raaarhg ! c'est dur ! ;-)

Posted by: chiantigallo

Bonjour ! Je te remercie pour ton aide Seb.

Tu as raison c'est un produit de fonction mais je n'aboutis quand meme pas au résultat voulut parce que j'obtiens des derivées partielles mixtes...

Pourrais tu gentillement me montrer les calculs ?

Merci d'avance et un bonjour du Chianti !

Iak

P.S: oui, la phyQ c'est dur !!!

Posted by: Pythales

Si je pose u=ax (c'est plus simple que $\xi$ ) j'ai $x=\frac{u}{a}$ d'où $dx=\frac{du}{a}$
$\frac{dy}{dx}=a\frac{dy}{du}$
en différentiant :
$\frac{d^2y}{dx^2}dx=a\frac{d^2y}{du^2}du$ et en remplaçant dx par sa valeur :
$\frac{d^2y}{dx^2}=a^2\frac{d^2y}{du^2}$

Posted by: chiantigallo

Merci beaucoup Pythales, tout est très clair à présent !

Iak