Je vais essayer de te te faire partager mon petit secret pour l'algèbre
linéaire.
Si v est un vecteur qui est combinaison linéaire d'une famille F à n
éléments on considère que les coefficients de cette combinaison
linéaire forme une matrice unicolonne à n lignes. Nommons M cette
matrice.Convenons de représenter la situation par v_M_F. On lit: v se
représente sur F par la matrice M
Si V est une famille de p vecteur dont chacun se représente sur F en
groupant tous les vecteurs colonnes on obtient une matrice H à n lignes
et p colonnes et on écrit V_H_F
Ma première recette je l'appelle le théorème de Chasles-Commeau
V,B,C sont des familles de vecteurs(parexemple des bases) H et G des
matrices
Si V_H_B et B_G_C alors V_GH_C
Remarquer la permutation de l'ordre pour le produit matriciel GH (Jean
Commeau et moi même après n'avion pas ce problème car nous utilisions
une disposition typographique impossible ici)
Deuxième remarque :(Pour deux bases par exemple)
Si V_H_B alors B_H^-1_V
Utilisation de l'inverse d'une matrice
Remarquer la cohérence:
V_H_B et B_H^-1_V donc V_H^-1H_V
H^-1H est la matrice unité et c'est bien normal qu'une famille de
vecteur se représente sur elle même de cette façon.
Pour en revenir à ton problème, Appelons a le vecteur OA
R et R' ton ancienne et ta nouvelle base .
Tu déclare connaitre la matrice Q telle que a_Q_R
Tu déclare connaitre la matrice M telle que R'_M_R
Et tu voudrais savoir la matrice Q' telle que a_Q'_R'
Tu calcule M^-1
et tu remarque qu'on peut appliquer Chasles-Commeau car
a_Q_R et R_M^-1_R' donc a_M^-1Q_R'
Et sans se faire un noeud aux méninges on voit que Q' = M^-1Q
Mon deuxième secret mai je ne développerai pas ce soir est qu'une
application linéaire conserve la matrice de représentation.