Champ magnétique d'une charge non accélérée

[alice3232]

Bonjour,

J'ai une charge en mouvement rectiligne uniforme suivant z. Je me place, en coordonnées sphériques en un point fixe qui n'est pas sur la trajectoire de la charge, de sorte que la charge approche du point puis s'en éloigne. Le champ magnétique en ce point dépend du temps, et pas besoin de calcul pour voir que sa dérivée seconde temporelle est non nulle (mais je l'ai calculé quand même). Le champ magnétique est suivant phi, et son laplacien si je ne me trompe pas est nul. Au point où je suis la densité de courant est nulle et l'équation d'onde implique donc que si le laplacien est nul alors variation seconde temporelle doit être nulle. De plus il ne faut pas qu'il y ait propagation. Pouvez vous me dire où est mon erreur ?
Merci

[valentin.b]

Bonjour,

J'utiliserais un système de coordonnées cylindrique plutôt (je pense d'ailleurs que tes considérations sur l'angle phi le montre). Pourquoi le laplacien du champ magnétique est nul ?
Cela dit si t'es à l'aise avec la relativité restreinte, je calculerais le champ électrique d'une particule ponctuelle fixe et utiliserais les lois de transformations des champs électrique et magnétique (qui me semble sont même sur wikipédia). Cela dit je n'ai jamais essayé ...

[valentin.b]

Je n'ai pas trouvé les résultats, mais je peux te proposer des calculs que j'ai effectués pour la tranformation d'un champ électrique sans champ magnétique dans un référentiel en translation suivant l'axe Oz :



Avec :



Et :



Si le sens du champ magnétique ne te plais pas (j'ai pas fais gaffe et j'ai pas envie de vérifier ...) c'est qu'il faut prendre -v (la vitesse d'entrainement) et non v.

[alice3232]

Merci Valentin
En fait je ne cherche pas la forme du champ magnetique créé par la charge mais a discuter son laplacien et sa derivée temporelle seconde, c'est a dire l'onde resultante, qui ne doit pas exister.
Pardonne moi je ne sais pas comment ecrire les vecteurs, et je vais simplifier.
Le champ choisi est de la forme avec C une constante, et comme ca donne . et B independant de phi donne que le laplacien est orienté juste suivant phi et donne un laplacien simplifié. En notant avec C la constante d'avant, et on a le laplacien suivant qui fait 0. Le probleme n'est pas ce zero. Ce resultat semble logique car sinon l'equation d'onde de B (dans le vide au point observateur) impliquerait une onde. Mais la maintenant j'ai une derivee temporelle seconde non nulle ce qui viole l'equation d'onde. Alors j'ai commencé par la calculer en cylindrique puis en spherique et c'est pareil c'est non-nul donc ca colle pas avec l'equation d'onde. Tu comprends ou est mon erreur ?

[valentin.b]

J'admet avoir du mal à te suivre : d'où sort la forme que tu donne au champ magnétique, le calcul demandé pour arriver au bon résultat est, il me semble, plutôt compliqué (le résultat est non-intuitif à priori, et l'usage de la base sphérique me semble toujours surprenant).

Ensuite en quoi les résultats que je te donne ne t'aident pas à résoudre ton problème ?

[alice3232]

Oui en fait je complique les choses pour rien. Ce que je ne comprends pas ne dépend pas de la forme du champ. Et en fait considérer le champ électrique est suffisant. Je me place en un point qui restera toujours vide (pas de source en ce point). Et je peux toujours trouver une bande temporelle telle que le champ passe par un maximum avant de redécroitre, donc il y a une dérivée temporelle seconde du champ. Je regarde (au point ou je suis : dans le vide) l'équation d'onde qui relie toute dérivée temporelle seconde. Je sais aussi qu'il ne peut pas y avoir d'onde pour une charge non accélérée. Donc je me pose quelques questions : une derivée temporelle seconde implique t'elle une onde ? (question qu'on peut reformuler : une dérivée temporelle seconde est t'elle toujours proportionnelle à son laplacien ?)
-Si oui, une onde peut elle exister sans se propager, comme si elle était virtuelle (c'est a dire sans détachement d'énergie, je vois que le vecteur de poynting est recourbé autour de la particule).
-Si non, comment concilier que d'un coté, une dérivée seconde temporelle ne soit pas proportionnelle au laplacien et que d'un autre coté l'équation d'onde dise que oui ?

[valentin.b]

Une onde doit dépendre à la fois des coordonnées s'espace et à la fois des coordonnées de temps, sinon on a dans l'ordre un champ uniforme et un champ statique ...

Maintenant si tu fais le calcul avec les formules que je t'ai donné du vecteur de Ponyting, tu t'apercoit qu'il n'est pas nul, ce qui est à priori contradictoire avec des formules du type Larmor (à laquelle tu fais référence il me semble pour le rayonnement), mais j'ai l'espoir de montrer que le vecteur de Ponyting trouvé est à divergence nulle (c'est à dire que la particule ne fait que déplacer de l'énergie)

Les calculs sont relativements chiants, et je te dirais si oui ou non on arrive à un résultats convenable.

[valentin.b]

Non c'est trop chiant !!!

[alice3232]

Intéressant ! Je vais réfléchir à ça (mais maintenant ca sera le week end prochain).

[alice3232]

Alors donc j'ai utilisé l'approximation de champ magnetique de mon premier post et pour rappel, j'avais calculé son laplacien en spherique et il etait nul. J'ai recalculé ce laplacien en cylindrique et en cartesien pour me faire la main avant de passer a un champ relativiste, et tous sont nuls. Alors c'est bien qu'ils soient tous egaux mais c'est pas bien qu'ils soient nuls. Parce que d'apres notre discussion, reprenez moi si je me trompe mais j'en déduis qu'un champ dont on sait qu'il a un dérivée seconde temporelle partielle non nulle ne doit pas avoir un laplacien nul (cf equation d'onde dans le vide). Ce qui veut dire que le champ approximé non relativiste ne peut pas etre physiquement valable.
Alors j'ai suivi le conseil de valentin.b et j'ai pris le champ non approximé en partant du champ electrique via Liénard et Wiechert.
C'est a dire le champ electrique (sans accélération) de Equation 4.42 sur le pdf suivant
theory.physics.unige.ch/~durrer/courses/eldynii.EPFL.pdf
Puis en déduisant le champ magnetique.
Et le laplacien n'est apparemment pas nul et ni tout simple. Alors le champ est-il solution de l'equation d'onde dans le vide j'en sais pour l'instant rien. Je suppose que oui sinon tout le monde aurait deja crié ;) mais je le calculerai peut etre le week end prochain