Cesaro

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Posted by: magnum

bonjour,

m_n=\frac{U_n}{n}=\frac{u_1+u_2+...+u_n}{n}

on suppose que la suite (un) converge vers l réel et soit epsilon un réel strictement positif .
j'ai démontré que valeur absolue de un-l était inférieure ou égale à epsilon /2 à partir d'un certain rang n1.

je n'arrive pas à démontrer que valeur absolue de (Un1 - l*n1)/n est inférieure ou égale à epsilon /2 à partir d'un certain rang n2.

Merci


Posted by: magnum

désolé pour l'erreur dans l'énoncé au départ .


Posted by: SimonB

Le but est a priori de montrer que la suite m_{n} converge.

Pour ton problème, u_{n_{1}}, c'est du constant (u_{n_{1}}n_{1} est fixé par epsilon) divisé par n ; ça tend donc vers 0, et donc tu peux trouver un rang n_{2} tel que tu aies la propriété souhaitée.


Posted by: magnum

merci simon , mais en gros j'aimerais que tu m'aide à démontrer par du calcul et des ingalités la propriété , sinon oui le but est de prouver que mn converge.


Posted by: xyz1975

Bonjour
|m_n-L|=|\frac{(u_1-L)+(u_2-L)+...+(u_N-L)+(u_{N+1}-L)+....+u_n}{n}|\leq\|\frac{(u_1-L)+(u_2-L)+...+(u_N_0-L)}{n}|+|\frac{(u_{N_0+1}-L)+....+u_n}{n}|\leq\ \frac{A}{n}+\frac{(n-N)\epsilon}{2n}
La suite de terme général A/n est convergente il existe alors un rang N_1 tel que A/n est plus petit que epsilon/2 la somme de Césaro est convergente il suffit de prendre le max des deux rangs.
Remarques :
Je note (Un) une suite et (Vn) la somme de Césaro cprrespondante alors :
1) (Un) converge vers L alors (Vn) converge aussi vers L
(Même si L=+ou- infini on a le même résultat)
2)Si (Un) est monotone alors (Vn) est aussi monotone et de même monotonie.
3)Si (Un) est bornée alors (Vn) est aussi bornée.
La réciproque de 1) n'est pas vraie il suffit de prendre le fameux exemple
(-1)^n
Dans ce cas on doit chercher une condition supplémentaire pour assurer la convergence de (Un) il suffit que (Vn) soit monotone si je me trompe pas.


Posted by: Purrace

Dans le Ds qu'on a eu y'avait la demo de ce theoreme a faire , jme rappellait plus comment faire, j'ai donc essayer de reflechir par moi meme ,est ce que si on suit le meme modele que cette demontration mais au lieu de couper la somme au rang N0 , on la coupe au rang n-N0 , elle reste toujours juste .


Posted by: SimonB

Citation:
Posté par Purrace
Dans le Ds qu'on a eu y'avait la demo de ce theoreme a faire , jme rappellait plus comment faire, j'ai donc essayer de reflechir par moi meme ,est ce que si on suit le meme modele que cette demontration mais au lieu de couper la somme au rang N0 , on la coupe au rang n-N0 , elle reste toujours juste .


Que veut dire n-N0 ?
Plus exactement, qui est n ?
D'après ce que tu dis, n est la variable. Dans ce cas-là, ça n'a pas de sens de "couper" à n : n varie !


Posted by: Purrace

Oui je sais mais bon ,j'etait tellement presse que j'ai pas fait attention au fait que n-N varié et en plus ca fonctionne pas avec les hypothese qu'on a fait en premier.


Posted by: xyz1975

Citation:
Posté par Purrace
mais au lieu de couper la somme au rang N0 , on la coupe au rang n-N0 , elle reste toujours juste .

On découpe pour la seule raison utiliser l'hypothèse que (Un) est convergente (donc à partir d'un certain rang N0 on a une majoration).
Si vous découpé en n-N0 est ce que vous obtiendrez la majoration par epsilon à la fin? non.
Le "A" dans la majoration est réel car le nombre de termes est fini ce n'est pas le cas si on découpe à n-N0, je pense...


Posted by: youssef__

lla recurence ca peu donner quelque chose
nn?










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