Cercles tangents

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Posted by: Quidam

Bonjour à tous,

Je vous propose ce petit exercice de géométrie.

On donne trois points A(338;178), B(509;297), C(408;408)

Construire trois cercles tangents deux à deux, de centres respectifs A, B et C. Puis, construire tous les cercles tangents à ces trois cercles.

A la règle et au compas, cela va sans dire...

http://img517.imageshack.us/img517/1873/premierelf5.png


A vos compas !


Posted by: Imod

Pour construire les trois cercles il suffit de placer les points de contact du cercle inscrit avec les côtés du triangle . Reste à trouver les deux cercles tangents aux trois premiers .

Imod


Posted by: Quidam

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Posté par Imod
Pour construire les trois cercles il suffit de placer les points de contact du cercle inscrit avec les côtés du triangle . Reste à trouver les deux cercles tangents aux trois premiers .

Imod


Oui, bien vu ! C'était bien sûr la question facile...La question qui m'intéresse, c'est la deuxième.

Je me doutais bien que tu serais le premier à répondre : c'est ton avatar qui m'a donné l'idée de ce problème ! Bon courage !


Posted by: Imod

Les deux cercles qu'il reste à construire sont les cercles d'Apollonius , il doit exister toute une littérature là-dessus et J'essaierai de voir ça demain

Imod


Posted by: Imod

Pas deux mais huit cercles d'Apollonius sans doute très intéressants à construire Je laisse ça à ceux qui sont en vacances : les veinards

Imod


Posted by: nodgim

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Posté par Imod
Pas deux mais huit cercles d'Apollonius sans doute très intéressants à construire Je laisse ça à ceux qui sont en vacances : les veinards

Imod


Bien vu, Imod, mais attention, nos 3 cercles ici sont déja tangents entre eux, donc ça nous laisse un seul cercle extérieur et un seul cercle intérieur. Mais, bon, ça a pas l'air simple cette affaire...


Posted by: Patastronch

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Posté par nodgim
Bien vu, Imod, mais attention, nos 3 cercles ici sont déja tangents entre eux, donc ça nous laisse un seul cercle extérieur et un seul cercle intérieur. Mais, bon, ça a pas l'air simple cette affaire...

Ben non les huit seront présent mais 6 seront confondu avec nos 3 cercles de départ.


Posted by: Patastronch

C'est quoi le signe +/- dans la démo ? Et le signe -/+ ?


Posted by: nodgim

Quand un cercle C (centre C) de rayon Rc est tangent "enveloppant" à 2 cercles A (centre A) de rayon Ra et B (centre B) de rayon Rc, on peut écrire:
La distance entre A et C= Rc-Ra
La distance entre B et C= Rc-Rb
Ainsi tous les cercles C tangents enveloppants à A et B (il y en a bien sûr une infinité) ont tous leurs centres qui sont intersection de 2 arcs de cercle: l'un de centre A et de rayon Rc-Ra et l'autre de centre B et de rayon Rc-Rb. Or, l'ensemble de ces intersections est une droite (en fait 2 droites symétriques de part et d'autre du segment joignant A et B).
Il suffit donc de tracer les 3 droites à partir des 3 paires des 3 cercles tangents. Le point de concourance de ces 3 droites est le centre du cercle tangent enveloppant.


Posted by: Quidam

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Posté par Imod
Pas deux mais huit cercles d'Apollonius sans doute très intéressants à construire Je laisse ça à ceux qui sont en vacances : les veinards

Imod


Il y a bien deux cercles distincts qui aient cette propriété dans le cadre de ce problème (celui où les trois cercles sont tangents deux à deux) ! Je dirais avec Patastronch qu'effectivement, lorsque les cercles sont tangents deux à deux, on peut considérer que six cercles sont chacun confondus avec l'un de nos trois cercles, pour faire un total de huit. Mais le cas où aucun des trois cercles n'est tangent avec un des deux autres fait l'objet de la partie B (que j'ai gardée pour le dessert). Ici, les trois cercles sont tangents deux à deux !

Tout cela ne me dit pas comment vous faites pour construire ces cercles !


Posted by: nodgim

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Posté par Quidam
Il y a bien deux cercles distincts qui aient cette propriété dans le cadre de ce problème (celui où les trois cercles sont tangents deux à deux) ! Je dirais avec Patastronch qu'effectivement, lorsque les cercles sont tangents deux à deux, on peut considérer que six cercles sont chacun confondus avec l'un de nos trois cercles, pour faire un total de huit. Mais le cas où aucun des trois cercles n'est tangent avec un des deux autres fait l'objet de la partie B (que j'ai gardée pour le dessert). Ici, les trois cercles sont tangents deux à deux !

Tout cela ne me dit pas comment vous faites pour construire ces cercles !


Voir message 9


Posted by: Quidam

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Posté par nodgim
Quand un cercle C (centre C) de rayon Rc est tangent "enveloppant" à 2 cercles A (centre A) de rayon Ra et B (centre B) de rayon Rc, on peut écrire:
La distance entre A et C= Rc-Ra
La distance entre B et C= Rc-Rb
Ainsi tous les cercles C tangents enveloppants à A et B (il y en a bien sûr une infinité) ont tous leurs centres qui sont intersection de 2 arcs de cercle: l'un de centre A et de rayon Rc-Ra et l'autre de centre B et de rayon Rc-Rb. Or, l'ensemble de ces intersections est une droite (en fait 2 droites symétriques de part et d'autre du segment joignant A et B).
Il suffit donc de tracer les 3 droites à partir des 3 paires des 3 cercles tangents. Le point de concourance de ces 3 droites est le centre du cercle tangent enveloppant.

Citation:
Posté par nodgim
Voir message 9


Oui, d'accord, je n'avais pas vu !

Mais,...Peut-être ne suis-je pas bien réveillé (je sors d'une grasse matinée bien méritée), il me semble que l'ensemble des intersections dont tu parles n'est pas une droite ! C se trouve à une distance Rc-Ra de A et à une distance Rc-Rb de B. La différence de distance est donc Rb-Ra, et le lieu des points tels que la différence des distances à deux points donnés est constante est une branche d'hyperbole, non ? Exceptionellement, si Ra=Rb, bien sûr, cette branche d'hyperbole devient une droite, la médiatrice de AB, mais sinon...

Si je fais erreur, fais donc une figure avec les données que j'ai fournies...

Peut-être n'ai-je pas encore dormi suffisamment...


Posted by: nodgim

Citation:
Posté par Quidam
Oui, d'accord, je n'avais pas vu !

Mais,...Peut-être ne suis-je pas bien réveillé (je sors d'une grasse matinée bien méritée), il me semble que l'ensemble des intersections dont tu parles n'est pas une droite ! C se trouve à une distance Rc-Ra de A et à une distance Rc-Rb de B. La différence de distance est donc Rb-Ra, et le lieu des points tels que la différence des distances à deux points donnés est constante est une branche d'hyperbole, non ? Exceptionellement, si Ra=Rb, bien sûr, cette branche d'hyperbole devient une droite, la médiatrice de AB, mais sinon...

Si je fais erreur, fais donc une figure avec les données que j'ai fournies...

Peut-être n'ai-je pas encore dormi suffisamment...


Non, en effet, ce n'est pas une droite, même si ça y ressemble beaucoup Je n'ai pas vérifié par analyse mon dessin, ça semblait aller tellement bien! tant pis, je ne trouve pas de solution géométrique


Posted by: Imod

Une construction du grand cercle en utilisant l'inversion de pôle I laissant le cercle de centre A globalement invariant . Je vous laisse justifier la validité de la construction ( c'est assez amusant ) .

http://img518.imageshack.us/img518/...edesoddyiz0.jpg

Imod


Posted by: Quidam

Citation:
Posté par Imod
Une construction du grand cercle en utilisant l'inversion de pôle I laissant le cercle de centre A globalement invariant . Je vous laisse justifier la validité de la construction ( c'est assez amusant ) .


Imod


Magnifique ! C'est quelque chose comme ça que j'attendais. Mais cela ne ressemble pas à ma figure ; je vais étudier ça, pour justifier chaque étape de la construction !


Posted by: jver

Citation:
Posté par Imod
Une construction du grand cercle en utilisant l'inversion de pôle I laissant le cercle de centre A globalement invariant . Je vous laisse justifier la validité de la construction ( c'est assez amusant ) .

Imod



Très joli; je n'ai pas la même figure que toi, mais ce qui est important est l'inversion. Il y a deux cercles tangents au cercle de centre A et aux deux tangentes à ce cercle perpendiculaires à BC. Ces deux cercles donnent, par inversion un cercle tangent extérieurement et un cercle tangent intérieurement

[IMG]http://img294.imageshack.us/img294/...rclesdj4.th.jpg[/IMG]


Mais ce que je trouve rigolo est la chose suivante:
Si a,b et c sont les côtés du triangle ABC, on a r_a=\frac{b+c-a}{2} Si on considère un point O, centre d'un cercle tangent aux cercles (A) et (B), on a OA \pm r_a = OB \pm r_b (les plus ou moins en fonction du point de tangence choisi); il s'ensuit que OB-OA= \pm r_a \pm r_b .Il s'ensuit que O est sur une hyperbole de foyers A et B, H_{AB}

De même, O est sur l'hyperbole H_{BC} , (ce qui assure d'ailleurs qu'il est également sur H_{CA} .

Donc, pour construire O, il faut savoir dessiner l'intersection des deux hyperboles.

Je ne me rappelle plus comment on détermine l'intersection de deux hyperboles (je ne me rappelais pas, non plus, si c'est possible). Cette construction fournirait-elle une piste pour cette construction?

UN joli problème et une solution élégante. Merci!


Posted by: Quidam

Citation:
Posté par jver
Donc, pour construire O, il faut savoir dessiner l'intersection des deux hyperboles.

Je ne me rappelle plus comment on détermine l'intersection de deux hyperboles (je ne me rappelais pas, non plus, si c'est possible). Cette construction fournirait-elle une piste pour cette construction?


Je ne comprends pas bien ce que tu dis. Ta figure montre clairement que tu as su construire le centre du grand cercle sans construire les trois hyperboles, et c'est précisément le but de l'énigme puisque, justement, on ne sait construire une hyperbole que point par point et cela ne fait pas partie des "constructions à la règle et au compas". Il est clair que les centres des cercles cherchés sont sur des hyperboles, mais justement la merveilleuse magie de l'inversion (je ne comprends pas pourquoi on a supprimé l'inversion des programmes de première ; c'est une pure merveille mais on ne l'enseigne plus qu'en fac, j'imagine) nous permet d'éviter la construction d'hyperboles, forcément point par point, donc forcément approximative, et exclue donc des "constructions à la règle et au compas".

La construction d'hyperboles, forcément interdite ici, n'aidera donc pas à trouver les cercles cherchés et c'est inutile, précisément parce que tu as trouvé comment faire sans.

Donc je ne comprends pas ce qui te chiffonne ! Tout va bien ! Où est le problème ?


Posted by: Imod

Une petite remarque au passage

Mon avatar qui est un cas un peu dégénéré du problème de Quidam est un sangaku . Plus de la moitié des problèmes soulevés par les sangakus relèvent de contacts entre cercles ou cercles et droites ce qui laisse songeur quand on sait que les japonnais ne connaissaient pas l'inversion .

Imod


Posted by: jver

Citation:
Posté par Quidam
Je ne comprends pas bien ce que tu dis. Ta figure montre clairement que tu as su construire le centre du grand cercle sans construire les trois hyperboles, et c'est précisément le but de l'énigme puisque, justement, on ne sait construire une hyperbole que point par point et cela ne fait pas partie des "constructions à la règle et au compas". Il est clair que les centres des cercles cherchés sont sur des hyperboles, mais justement la merveilleuse magie de l'inversion (je ne comprends pas pourquoi on a supprimé l'inversion des programmes de première ; c'est une pure merveille mais on ne l'enseigne plus qu'en fac, j'imagine) nous permet d'éviter la construction d'hyperboles, forcément point par point, donc forcément approximative, et exclue donc des "constructions à la règle et au compas".

La construction d'hyperboles, forcément interdite ici, n'aidera donc pas à trouver les cercles cherchés et c'est inutile, précisément parce que tu as trouvé comment faire sans.

Donc je ne comprends pas ce qui te chiffonne ! Tout va bien ! Où est le problème ?


Que tout aille bien, certes!
Mais le fait qu'on ne puisse pas tracer d'hyperbole avec la règle et le compas est une chose. Mais, par exemple, connaissant une conique, par ses éléments, je peux construire l'intersection de cette conique avec une droite. J'obtiens un point qui est sur la conique et sur la droite.
Pour l'intersection de deux coniques, va falloir regarder. Mais là, c'est cela quie je trouve intéressant. J'ai un moyen de définir les centres des cercles sans passer par les coniques. Or ces centres des cercles sont des intersections de coniques. Je me demandais simplement si cette méthode (inversion, ...) ne pouvait pas permettre de construire, à la règle et au compas, l'intersection des deux coniques.

Est-ce plus clair?


Posted by: Quidam

Citation:
Posté par jver
Je me demandais simplement si cette méthode (inversion, ...) ne pouvait pas permettre de construire, à la règle et au compas, l'intersection des deux coniques.

Est-ce plus clair?


Sans aucun doute ! Je n'avais effectivement pas compris cela ! Je suis bien piqué par la curiosité ! On donnerait donc deux hyperboles (ayant un foyer commun !) et pour trouver leur intersection, on chercherait trois cercles dont les centres seraient les trois foyers distincts, de manière que le centre d'un cercle tangent aux trois cercles soit l'une des intersections de coniques ? C'est une idée très astucieuse. Reste à savoir si cela est possible ; très intéressante question ! Il me semble que ça marche, sauf que les trois cercles, faciles à trouver, ne sont pas nécessairement tangents deux à deux.

Soit, par exemple la branche d'hyperbole H1 de foyers A et B définie par :

MA-MB = K
et la branche d'hyperbole H2 de foyers A et C définie par :

MA-MC = L

En supposant que l'on cherche un cercle de rayon R et de centre M qui soit tangent extérieurement à trois cercles de centres respectifs A, B et C et de rayons respectifs Ra, Rb et Rc, cela voudrait dire que :

MA=R+Ra
MB=R+Rb
MC=R+Rc

D'où MA-MB=K=Ra-Rb
MA-MC=L=Ra-Rc

Si l'on veut que le cercle de centre A et de rayon Ra et le cercle de centre B et de rayon Rb soient tangents, cela impose Ra+Rb=AB, ce qui détermine Ra, Rb et Rc de manière unique. Reste à savoir dans quelles conditions les solutions Ra, Rb Rc respectant ces trois contraintes peuvent être des rayons de cercles (c'est-à-dire si elles sont positives ! Je devine qu'une solution négative correspondrait à une tangence intérieure au lieu d'extérieure, mais c'est à vérifier). Mais je suppose que cela marcherait dans certains cas au moins.

La tangence entre le cercle (C, Rc) et le cercle (A, Ra), de même que la tangence entre le cercle (C, Rc) et le cercle (B, Rb) ne peuvent être exigées car cela fournirait deux équations supplémentaires, au mieux inutiles, au pire incompatibles, mais ce n'est pas grave, car la solution que tu proposes (qui est aussi la mienne en réalité) n'utilise que le fait que deux cercles sont tangents.

Cela m'amène d'ailleurs à la partie B de mon problème (enfin, plutôt du problème d'Apollonius, bien sûr).

Trois cercles sans aucun point commun à deux quelconques d'entre eux, et disons extérieurs l'un à l'autre (c'est déjà pas mal !) étant donnés comment faire alors pour trouver les cercles tangents aux trois cercles ?



Posted by: nuage

Salut Quidam
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Posté par Quidam

Trois cercles sans aucun point commun à deux quelconques d'entre eux, et disons extérieurs l'un à l'autre (c'est déjà pas mal !) étant donnés comment faire alors pour trouver les cercles tangents aux trois cercles ?

je te recommande la lecture de la Géométrie de Marcel Berger. En particulier 10.11.1
Et je ne vais pas le recopier.


Posted by: Quidam

Citation:
Posté par nuage
je te recommande la lecture de la Géométrie de Marcel Berger. En particulier 10.11.1
Et je ne vais pas le recopier.


C'est gentil, merci. Mais je crois que l'on s'est mal compris. Je ne suis pas en train de demander de l'aide pour un problème que je devrais résoudre. Je suis en train de proposer aux autres forumeurs un problème qui me semble intéressant et dont j'ai trouvé une solution partielle dans certains cas. En attendant que je lise ce livre, ce serait sympa que tu nous fasses savoir ce qu'il dit en substance à propos de cette question - sans le recopier, bien sûr.


Posted by: Quidam

Personne n'est intéressé par le problème posé au post 21 ?










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