Mathématiques - Cercles

Cercles
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Posted by: Galt

Une des plus belles démonstrations que je connaisse (et une réponse partielle à la question "pourquoi j'aime les maths").
Dans le plan, trois cercles de même rayon ont un point commun. Montrer que le cercle circonscrit aux trois autres points d'intersection a aussi le même rayon.

Posted by: foufou

bein je pense qu'on démontrera que les 6points (centres et intersections) sont cocycliques et forment un hexagone régulier de centre le point d'intersection des 3 cercles
on sait bien que le cerle passant par les 3 centres a le meme rayon que les 3 cercles
ainsi on déduira que le cercle passant par les point d'int est de meme rayon

Posted by: Galt

Mais ces 6 points ne sont pas cocycliques (il suffit de faire une figure pour s'en rendre compte)

Posted by: evilangelium

Bonjour

En faisant une figure, on remarque que les cercles sont symétriques deux à deux par rapport aux droites formées par deux intersections.

Une figure avec exactement trois points d'intersections (les trois centres formant un triangle régulier), cette symétrie existe (nb: on ne peut pas créer le quatrième cercle).

Avec quatre points d'intersections, le quatrième cercle créé est symétrique des trois autres par les droites formées par deux intersections. Il possède donc le même rayon que les trois autres cercles.

Serait-ce un élément de réponse ?

Posted by: Galt

Je précise l'énoncé : trois cercles de même rayon R ont un point commun $\omega$ , et évidemment ils sont sécants deux à deux, ce qui forme trois autres points ( $C_1$ et $C_2$ sont sécants en $\Omega$ et $A_3$ , ( $C_1$ et $C_3$ sont sécants en $\Omega$ et $A_2$ , ( $C_2$ et $C_3$ sont sécants en $\Omega$ et $A_1$ )
Le cercle circonscrit au triangle $A_1A_2A_3$ a alors aussi R comme rayon.

Posted by: Patastronch

En posant O4 centre du cercle circonscrit au triangle A1A2A3 (points d'intersection des cercles C1 C2 et C3 deux a deux),O1 (resp O2 O3) centre du cercle C1 (resp C2 C3) et P le point d'intersection des cercles C1 C2 et C3, j'affirme que :

O4 est le centre du cercle circonscrit au triangle A1A2A3 de la meme maniere que P est le centre du cercle circonscrit au triangle O1O2O3.

Explications : (sélectionez le cadre qui suit pour voir les explications, ne regardez que si vous ne voulez plus chercher)

Code:


Grace a l'énoncé on a :

O1 est commun aux cercles de rayon R et de centres A2 et A3.
O2 est commun aux cercles de rayon R et de centres A1 et A3.
O3 est commun aux cercles de rayon R et de centres A1 et A2.
P est le centre du cercle circonscrit au triangle O1O2O3 
et ce cercle est unique bien entendu de rayon R.


De meme on a :

A1 est commun aux cercles C2 et C3 de rayon R et de centres O2 et O3.
A2 est commun aux cercles C1 et C3 de rayon R et de centres O1 et O3.
A3 est commun aux cercles C1 et C2 de rayon R et de centres O1 et O2.
O4 est le centre du cercle circonscrit au triangle A1A2A3 et 
ce cercle est unique également.

Les longueurs considérées sont égales dans les deux cas du dessus 
(j'ose esperer que j'ai pas besoin de détailler le pourquoi !!! ),

le point O4 est donc aux points A1, A2 et A3 ce que 
le point P est aux points O1, O2 et O3.

Le cercle de centre O4 et circonscrit à A1A2A3 est donc 
de même rayon que le cercle de centre P et circonscrit à O1O2O3, soit R.

Posted by: Galt

Ca me semble un peu rapide

Posted by: Patastronch

Hmmm je vois pas ou ca cloche, si tu pouvais m'eclairer je t'en serais reconnaissant.

Posted by: Galt

La phrase "Le point $O_4$ est aux points $A_1 A_2 A_3$ ce que P est aux points $O_1 O_2 O_3$ ne me semble pas concluante.

Posted by: Patastronch

Hmmm je saisis pas trop ce qui te genes, mais bon je te fais confiance, ca fait plus de 3 ans que j'ai pas fait de maths vraiment.

J'avais une autre idée par l'absurde, je la mettrais demain a tete reposée si j y pense.

Posted by: Chimerade

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Posté par Patastronch

Code:


ASTUCE

Pas mal ton astuce. J'y fais référence dans "A propos de ce site" : il faudrait trouver la couleur exacte du fond...

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