Cercles dans un cercle

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Posted by: Alpha

Bonjour,

Récemment, à l'Ecole, lors d'une conduite de projet en équipe (dans une simulation sur ordinateur), nous devions rentabiliser une chaîne de production de capteurs de pollution. Ceux-ci étaient produits sur des supports ayant une forme de disque, appelés wafers.
Nous ne disposions pas de la forme ni de la taille exacte des capteurs, mais parmi la foule des documents fournis, une photo d'un capteur avec une indication d'échelle nous permit d'estimer que le capteur avait la forme d'un disque et d'estimer son rayon.
Nous avons alors passé quelques minutes à chercher quel était le nombre maximal de capteurs que l'on pouvait disposer dans un wafer (afin d'optimiser la rentabilité). Mais nous avons vite abandonné, pour plusieurs raisons : un résultat exact nous semblait, sur le moment, très compliqué à obtenir, et nous pouvions nous contenter d'une approximation grossière. Par la suite, on nous a montré physiquement les wafers et les capteurs, et l'on s'est rendu compte que les capteurs étaient en fait disposés dans des carrés découpés sur le wafer, ce qui résolvait le problème.

La question que je vous pose maintenant est la suivante :

Etant donnés R et r, avec r<R, combien de cercles de rayons r peut-on mettre au maximum dans le cercle de rayon R, chaque cercle de rayon r ayant au plus un point d'intersection avec le cercle de rayon R et avec tout autre cercle de rayon r?

C'est peut-être facile, mais je n'ai pas encore trouvé... (le projet était la semaine dernière, et je viens juste de repenser à ce problème ce soir, ça fait 1/2 H que je cherche...)

Bonne chance.


Posted by: Imod

Citation:
Posté par Alpha
Etant donnés R et r, avec r<R, combien de cercles de rayons r peut-on mettre au maximum dans le cercle de rayon R, chaque cercle de rayon r ayant au plus un point d'intersection avec le cercle de rayon R et avec tout autre cercle de rayon r?
C'est peut-être facile, mais je n'ai pas encore trouvé... (le projet était la semaine dernière, et je viens juste de repenser à ce problème ce soir, ça fait 1/2 H que je cherche...)

1/2H ça semble quand même un peu court même pour un alpha , essaie de voir ce qui ce passe avec R=2r , R=3r ,...

Imod


Posted by: Alpha

Ok, merci, je vais y réfléchir demain en rentrant ;) (je me suis absenté deux heures et il est tard pour réfléchir maintenant).

Cordialement


Posted by: Alpha

D'accord, pour R=2r, on peut en mettre 2, pour R=3r, 3, ce qui invite à penser que pour R=nr, on peut en mettre n, et que le nombre recherché dans le cas général est partie entière(R/r). Mais ce ne sont que des conjectures...

Bon cette fois je vais me coucher, à demain


Posted by: Imod

A première vue le problème est plus simple si R/r n'est pas rationnel et fait penser aux sangakus japonais . Bon , moi aussi

Imod


Posted by: alben

Bonsoir,
Il me semble plus simple d'inverser le problème : quelle doit être la valeur de R mimimale pour loger n disques de rayon 1 ?
Pour n=2, on trouve bien R=2 mais ensuite n=3 donne 1+2/racine(3)=2.15 puis n=4-> 1+racine(2)=2,4
A partir de 5 ça se complique car il existe plusieurs configations envisageables...
Si l'on prend n grand, on se rapproche de la conjecture de Kepler (en fait dans le plan c'est prouvé depuis un siècle) R² tend vers (2n.racine(3))/pi
C'est à dire n tend vers 0,9R²
Par exemple pour R=3, on peut tracer (sauf erreur) 7 petits cercles (au lieu de 8,1 donnés par le calcul)










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