bonjour,
a)O est le milieu de [AB], ABC triangle équi, I appartient à C de centre O :
donc AB=AC
et OI=OA=OB=AC/2
par la réciproque de la droite des milieux, on peut dire que (OI)//((AC) et que I est le milieu de [BC]
b)I est le milieu de [BC], IB=BC/2
K symètrique de O /B, donc OB=BK=AB/2=BC/2, B est le milieu de [OK]
donc dans le triangle OIK, (BI) est la médiane issue de I relative à [OK]
or un triangle dont la longueur de la médiane relative au plus grand côté est = à la moitié de la longueur de ce plus grand côté est un triangle rect
donc OIK rec en I
[OI] rayon de C
donc (KI) est la tangente en I au cercle O
c)lorsque 2 droites sont //s toute perpendiculaire à l'1 est perpendiculaire à l'autre
d)dans le triangle rect AIB, si on applique Pythagore
AB²=AI²+IB²
AB=2BI
4BI²-IB²=AI²=3BI²
dans le triangle rect OKI, si on applique Pythagore
OK²=OI²+IK²
OK=AB=2OI
4OI²-OI²=IK²=3OI²
OI=IB, donc IK²=AI² et le triangle AIK est isocèle en I