Un cercle dans un triangle

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Posted by: Imod

Le site Regina nous a offert il y a quelque temps un mémorable problème de pièces de monnaie ( certains s'en souviennent sûrement ) . Celui d'octobre 2007 est intéressant car abordable par un élève de seconde . A vous les lycéens !!!

Un cercle de centre O et de rayon 1 cm roule à l'intérieur d'un triangle dont les côtés mesurent 6,8 et 10 cm respectivement , en longeant les côtés . Quelle distance O parcourt-il en un circuit complet ?

http://img77.imageshack.us/img77/4052/reginauq9.jpg

Imod


Posted by: FlyGhost

En tattonant, je fait Thales avec un facteur 1/2 et je trouve ke O parcours 3+4+5=12 cm. Mais bon lol pas super precis comme methode


Posted by: Imod

C'est un peu plus compliqué

Imod

Edit : mais d'accord sur le résultat .


Posted by: alben

Citation:
Posté par Imod
mais d'accord sur le résultat .

Curieux, de mémoire, ce n'est pas ce que j'avais trouvé. C'était bien plus

PS Au temps pour ma mémoire, c'était bien ça


Posted by: Imod

Une généralisation amusante et curieusement à peine plus difficile . Le triangle est quelconque de côtés a,b et c , un cercle de rayon r suit intérieurement les côtés du triangle , quelle distance a parcouru son centre quand il a fait un tour complet ?

Imod


Posted by: nuage

Salut,
je trouve :
(a+b+c)- \frac{2\,r\,(a+b+c)^2}{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}
en supposant
r\,\leq \, \frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{2 (a+b+c)}
sinon le cercle ne rentre pas dans le triangle.
La formule est compliqué, et j'espère ne pas avoir fait d'erreur en la tapant, mais il est vrai que le raisonnement géométrique est simple.

Pour ceux qui veulent le chercher, un indice en blanc :
penser au cercle inscrit dans le triangle (et à son centre)


Posted by: Imod

Citation:
Posté par nuage
je trouve :
(a+b+c)- \frac{2\,r\,(a+b+c)^2}{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}

Une belle formule qui s'exprime quand même plus simplement à l'aide du périmètre et de l'aire du triangle ( mais moi aussi j'aime bien jouer à LaTeX ) .

Imod


Posted by: nuage

Salut,
Citation:
Posté par Imod
Une belle formule qui s'exprime quand même plus simplement à l'aide du périmètre et de l'aire du triangle ( mais moi aussi j'aime bien jouer à LaTeX ) .

Imod

à l'aide du rayon du cercle inscrit dans le triangle c'est encore plus simple.
Mais ton observation est juste : je m'entraine à \LaTeX .
mais je n'ai pas encore vraiment sauté le pas.


Posted by: aviateurpilot

O dessine un triangle semblable au grand triangle
donc on a qu'a calcule la distance d qu'a parcouru O sur le segment (6cm)
et donc ce cas la solution est \frac{d}{6cm}(6cm+8cm+10cm)
d est facile a touvé.


Posted by: Imod

Citation:
Posté par aviateurpilot
\frac{d}{6cm}(6cm+8cm+10cm)
d est facile a trouver.

Comment ?

Imod


Posted by: nuage

Salut aviateurpilot je ne comprend pas ta solution.
Peux tu l'expliciter.










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