Connaissez vous la démonstration de ce resultat classique:
Soit f endomorphisme commutant avec tous les autres endomorphismes
Alors (x,f(x)) est liée
Posted by: Frederic
On Sat, 29 Nov 2003 12:18:46 +0100, Letitia <lili@caramail.com> wrote:
>Bonjour,
>
>Connaissez vous la démonstration de ce resultat classique:
>Soit f endomorphisme commutant avec tous les autres endomorphismes
>Alors (x,f(x)) est liée
Oui, et mieux, f est une homothétie. Preuve : supposons
(x, f(x)) libre, on le complete en une base. Alors
on definit l'endomorphisme g par g(f(x))=x et g(x)=0.
(Id ailleurs). Comme gof = fog, g(f(x))=x=f(g(x))=0.
Contradiction. Donc (x, f(x)) est liée...
La suite est tout aussi classique. On note l(x) l'unique
scalaire tel que, pour x non nul, f(x) = l(x)x.
Soient (x, y) quelconques non nuls.
1) S'ils sont liés, alors il existe m, x=my.
donc l(x)x=f(x)=mf(y)=ml(y)y=l(y)x et l(x)=l(y)
2) Sinon, f(x+y)=l(x)x + l(y)y
= l(x+y)(x+y)
Comme (x, y) libre, l(x)=l(x+y)=l(y).
Donc f est une homothétie. CQFD.
Note : c'est un exercice dont je disais aux collés qu'il
fallait apprendre par coeur, tellement il est classique...
À vaincre sans péril, on triomphe sans gloire.
--
Frédéric, ancien taupin, à qui il reste des automatismes.
Posted by: Letitia
"Frederic" <beal@clipper.ens.fr> a écrit dans le message de news: slrnbsh3tt.m9q.beal@clipper.ens.fr...
> On Sat, 29 Nov 2003 12:18:46 +0100, Letitia <lili@caramail.com> wrote:
> >Bonjour,
> >
> >Connaissez vous la démonstration de ce resultat classique:
> >Soit f endomorphisme commutant avec tous les autres endomorphismes
> >Alors (x,f(x)) est liée
> Oui, et mieux, f est une homothétie. Preuve : supposons
> (x, f(x)) libre, on le complete en une base. Alors
> on definit l'endomorphisme g par g(f(x))=x et g(x)=0.
> (Id ailleurs). Comme gof = fog, g(f(x))=x=f(g(x))=0.
> Contradiction. Donc (x, f(x)) est liée...
Es ce que cela revient à considérer un projecteur parallelement a x sur
f(x)?
Posted by: Frederic
"Letitia" <lili@caramail.com> wrote in message news:<3fc895ce$0$28641$636a55ce@news.free.fr>...
> > >Soit f endomorphisme commutant avec tous les autres endomorphismes
> > >Alors (x,f(x)) est liée
> > Oui, et mieux, f est une homothétie. Preuve : supposons
> > (x, f(x)) libre, on le complete en une base. Alors
> > on definit l'endomorphisme g par g(f(x))=x et g(x)=0.
> > (Id ailleurs). Comme gof = fog, g(f(x))=x=f(g(x))=0.
> > Contradiction. Donc (x, f(x)) est liée...
>
> Es ce que cela revient à considérer un projecteur parallelement a x sur
> f(x)?
Le projecteur en question serait : g(f(x))=f(x) et g(x)=0
Donc pas tout a fait, mais cela fonctionne pareil. (Meme principe.)