Mathématiques - carré particulier

carré particulier
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Posted by: aviateurpilot

salut

Trouvez tous les nombres à dix chiffres dont les dix derniers chiffres du carré de ce nombre équivalent au nombre d'origine.

Par exemple : 9573921746² = 91659977599573921746

Posted by: BancH

PS: Ma démonstration et mes calculs sont très confus.

Soit zabcdefghi le nombre cherché avec chaque lettre correpondant à un chiffre, les dix derniers chiffres du carré de ce nombre sont: ZABCDEFGHI.

$i=0$ ou $i=1$ ou $i=5$ ou $i=6$

Avec $i=0$ :

$I=i^2=0$
$H=2ih=0$ quelque soit $h$ , or $H=h \Longleftrightarrow h=0$
$G=h^2+2gi=0$

etc...

Ca ne fonctionne pas avec $i=0$

Avec $i=1$ :

$I=1$
$H=2h$ ssi $h=0 \Longleftrightarrow H=0$
$G=2g$ ssi $g=0 \Longleftrightarrow G=0$

etc...

Ca ne fonctionne pas avec $i=1$

Avec $i=6$ , c'est celui que tu as donné, je ne pense pas qu'il y en ait deux.

Et avec $i=5$ :

$I=5$
$H=2ih+2_{retenue}=10h+2=2$
$G=2ig+h^2+2_{retenue}=10g+4+2=6$
$F=2if+2gh+6_{retenue}=4+6=0$
$E=2ie+6^2+3_{retenue}=9$
$D=2id+2eh+12_{retenue}=8$
$C=2ic+2hd+2ge+12_{retenue}=2$
$B=2ib+2ch+2dg+2ef+17_{retenue}=1$
$A=2ai+2bh+2cg+2df+e^2+13=2$
$Z=2zi+2ah+2bg+2cf+2de+14_{retenue}=8$

$\Longrightarrow$ 8212890625

Il n'existe donc que deux nombres de dix chiffres tel que les dix derniers chiffres de leur carré soient égaux à eux-mêmes...

Posted by: aviateurpilot

c vraie
mais l'exemple que j'ai fait c'est seulement pour te fait comprendre l'exo
de tt facon ton nombre verifie les condition que j'ai fait :
voila
soit n une solution
$n^2=n+k10^{10}$
alors $n(n-1)=k10^{10}$
donc 10^10 divise n(n-1)
et puisque n-1 et n premier entre eux
1) alors n est congru a 0 modulo $5^{10}$
et n est congru a 1 modulo $2^{10}$
ou bien
2) n est congru a 1 modulo $5^{10}$
et n est congru a 0 modulo $2^{10}$

ton nombre verifie (1)
c bien et merci

Posted by: BancH

Toi tu fais comment pour trouver la solution, tu utilises ce que tu as dit?

Posted by: aviateurpilot

presque la meme methode que toi
avec le fait que ce nombre peux s'ecrire de la forme $\sum_{i=0}^9 a_i10^i$
et j'ai trouver
8212890625 qui verifie (1)
1787109376 qui verifie (2)