Mathématiques - carré parfait

carré parfait
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Posted by: aviateurpilot

salut les amis
voila un probleme facile pour vous
$(a,b)\in Z$
montrer que:
$\forall n\in N$ , $2^na+b$ est un carré parfait => $a=0$

bon chance

Posted by: yos

Tu veux dire :
$\forall n\in N$ , ( $2^na+b$ est un carré parfait => $a=0$ )?
ou bien :
( $\forall n\in N$ , $2^na+b$ est un carré parfait) => $a=0$ ?

Je penche pour la seconde.

Posted by: katrena99

c'est à dire ??? détaillez s'il vous plaît !

Posted by: aviateurpilot

pour la premiere,
il est clair que c'est faut
car pour $n=1,a=4$ et $b=1$ , $2^na+b=9^2$ et $a\neq 0$

c'est la seconde yos
( $\forall n\in N,2^na+b\ carre\ parfait\ =>\ a=0$ )

Posted by: aviateurpilot

voila ma solution(pour ceux qui voulent chercher encor,vous n'etes pas obligé de voir ma solution)

soit $(a,b)\in Z^2$
on pose $X_n=2^na+b$
l'equation $(E):\ 4x^2-y^2=3b$
<=> $(2x-y)(2x+y)=3b$
=> $2x+y\le 3|b|$
=> $x\le 3|b| ,y\le 3|b|$
=> $card\{(x,y)/4x^2-y^2=3b\}\le (1+3|b|)^2$
=> $\{(x,y)/4x^2-y^2=3b\}$ est fini
on a $\{(X_n,X_{n+2}),n\in N\}$ est inclu dans $\{(x,y)/4x^2-y^2=3b\}$
donc $\{(X_n,X_{n+2}),n\in N\}$ est fini
=> il existe $(i,j)\in N^2,i\neq j$ tel que $(X_i,X_{i+2})=(X_j,X_{j+2})$
=> $2^ia+b=2^ja+b$
=> $2^ia=2^ja$
=> $a=0$

Posted by: BancH

Citation:

Posté par yos

Tu veux dire :
$\forall n\in N$ , ( $2^na+b$ est un carré parfait => $a=0$ )?
ou bien :
( $\forall n\in N$ , $2^na+b$ est un carré parfait) => $a=0$ ?

Je penche pour la seconde.

C'est quoi vraiment la différence entre les deux là ?
Quelqu'un pourraît m'expliquer ?

Posted by: Zebulon

Citation:

Posté par BancH

C'est quoi vraiment la différence entre les deux là ?
Quelqu'un pourraît m'expliquer ?

Bonjour,
la différence, c'est la position du "si" quand on lit cette phrase mathématique en français.
La première est
"pour tout n appartenant à $\mathbb{N}$ ,
si $2^na+b$ est un carré parfait,
alors a=0"
alors que la deuxième est :
"si pour tout n appartenant à $\mathbb{N}$ , $2^na+b$ est un carré parfait,
alors a=0".

Posted by: BancH

Merci Zeb, mais je n'arrive vraiment pas à voir la différence...

Posted by: Zebulon

La contraposée de la deuxième est :
si $a\neq0$ , alors $\exists n\in\mathbb{N}$ tel que $2^na+b$ n'est pas un carré parfait.
Pour moi, la contraposée de la première est :
pour tout $n\in\mathbb{N}$ , si $a\neq0$ alors $2^na+b$ n'est pas un carré parfait, c'est correct?

Posted by: aviateurpilot

salut banch

Citation:

$(\forall n\in N$ ; $2^na+b$ carré parfait => $a=0)$

on veux montrer que si $2a+b,4a+b,8a+b,16a+b,....,2^ka+b,.....$ sont tous des carré parfait alors a=0

mais pour:

Citation:

$\forall n\in N$ ( $2^na+b$ carré parfait => $a=0)$

c'est:
si $2a+b$ carré parafait alors $a=0$
et
si $4a+b$ carré parafait alors $a=0$
et
si $8a+b$ carré parafait alors $a=0$
et
si $16a+b$ carré parafait alors $a=0$
.........
.........
et
si 2 $^ka+b$ carré parafait alors $a=0$
.........
.........

Posted by: BancH

J'ai enfin compris.

Ca veut dire qu'il faut montrer que si $a+b$ est un carré parfait, alors $2a+b$ n'en est pas un, et par conséquent $b$ est un carré parfait et $a=0$ .

C'est ça non ?

Posted by: aviateurpilot

Citation:

Posté par banch

si $a+b$ est un carré parfait, alors $2a+b$ n'en est pas un,

contre-exemple
pour $a=7$ et $b=2$
$a+b=9$ et $2a+b=16$ .
_______________________
1er methode)essayer de monter que si $a\neq 0$ alors il existe surement un k tel que $2^ka+b$ n'ai pas un carré parfait.

2eme methode)essayer de montrer qu'il n'existe pas une infinité de carré parfait de la forme $2^ka+b$ c'est ce que j'ai fait dans la solution que j'ai posté.

Posted by: BancH

Ok, sinon t'as un exemple avec $a+b$ , $2a+b$ et $4a+b$ carrés parfaits ?

Posted by: aviateurpilot

tu n'a que voir ma solution,et tu va comprendre tt