a+b carré parfait

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Posted by: aviateurpilot

Soient a, b et c des entiers strictement positifs, premiers entre eux dans
leur ensemble' et tels que:

\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}

Prouver que a + b est un carré parfait.

et merci d'avance pur vos réponces


Posted by: yos

De bc+ca=ab on déduit que que si p est un diviseur premier de l'un des entiers a, b ou c, alors il en divise aussi un des deux autres (et pas les deux), et on voit assez facilement que ces deux multiples de p ont même valuation p-adique.
Ensuite on considère l'entier a+b qui vaut aussi ab/c . Dans cette fraction, les diviseurs premiers communs de a et c se simplifient en vertu de ce qui précède. De même pour les diviseurs premiers communs de b et c. Il ne reste que les diviseurs premiers communs de a et b qui vont figurer avec un exposant pair toujours pour la même raison.
Ainsi a+b est un carré parfait.
Remarquons que pour les mêmes raisons, b-c et a-c sont aussi des carrés parfaits.
Je vous invite à essayer avec les triplets (3,6,2), (6,30,5), (k+1, k(k+1), 1) où k est un entier >0.
Questions :
Y-a-t-il des triplets qui ne sont pas du dernier type?
Peut-on faire une réciproque : si a+b, b-c et a-c sont des carrés d'entiers, a-t-on 1/a+1/b=1/c ?


Posted by: aviateurpilot

Citation:
et on voit assez facilement que ces deux multiples de p ont même valuation p-adique

un exemple :
si p divise a on trouve que p divise bc
supossant que p divise b
si on pose a'=a/p et b'=b/p
on trouve que b'c+ca'=a'b'
si p divise a' on trouve pas forcement p divise b'


Posted by: yos

Citation:
Posté par aviateurpilot
un exemple :
si p divise a on trouve que p divise bc
supossant que p divise b
si on pose a'=a/p et b'=b/p
on trouve que b'c+ca'=a'b'
si p divise a' on trouve pas forcement p divise b'


Si! Parce que p est étranger à c.


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Si! Parce que p est étranger à c.

mais pour koi??


Posted by: yos

p divise a et b donc pas c (car PGCD(a,b,c)=1).
p ne divise pas c et p est premier, donc p est étranger à c.


Posted by: aviateurpilot

oui je t'ai compris


Posted by: aviateurpilot

voila ce que j'ai fait moi:
on pose d=pgcd(a,b) donc a=a'd et b=b'd tel que pgcd(a',b')=1
c(a+b)=ab
c(a+b)=d²a'b' et pgcd(c,d²)=1 et pgcd(a+b,a'b')=1
donc a+b=d² et c=a'b'


Posted by: yos

C'est très bien. Obtiens-tu aussi les deux sous produits : a-c et b-c carrés parfaits?


Posted by: aviateurpilot

ac+bc=ab
b(a-c)=ac on pose g=pgcd(a,c) et c=ga' et b=gb'
et on fait la meme chose
on trouve que a-c et b-c carrés parfaits










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