(Capss) Trigonométrie et racines de polynôme

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Posted by: Nicolas_75

Bonjour,

Je poste cet exercice au nom de Capss. Je sais, c'est étrange, mais c'est comme ça.

Capss parle :

On pose x= pi/5

a) exprimer cos2x et cos4x en fonction de cosx
b) en déduire que le réel cosx est solution de l'équation: 8x^4 - 8x² + x +1 = 0
c) Résoudre l'²quation en commencant par remarquer qu'il existe 2 solutions rationnelles simples. En déduire la valeur ce cosx

Mes réponses [celles de Capss]

a) cos2x = 2cos²x -1
cos4x = 2cos²2x -1 = 2(2cos²x -1)² -1 = 8cos^4 -8cos²x +1


Posted by: Nicolas_75

Ma proposition pour la suite :

b)
\cos 4x=\{{\cos\frac{4\pi}{5}=\cos(\pi-\frac{\pi}{5})=-\cos x\\8\cos^4x-8\cos^2x+1}
donc \cos x est solution de 8X^4-8X^2+X+1=0

c)
1/2 et -1 sont racines évidentes.
On factorise le polynôme par division euclidienne.
Il vient :
(X-\frac{1}{2})(X+1)(8X^2-4X-2)=0
On résoud l'équation du second degré
(X-\frac{1}{2})(X+1)(X-\frac{1-\sqrt{5}}{4})(X-\frac{1+\sqrt{5}}{4})=0

\cos\frac{\pi}{5} peut être l'une des 4 racines.
Or \frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}<\cos\frac{\pi}{5}<1

Donc \fbox{\cos\frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}}

Sauf erreur.

Nicolas


Posted by: Capss



Merci beaucoup une nouvelle fois Nicolas, je vais voir ça tout de suite

(désolé de ne pas t'avoir répondu par mp car j'étais pas là et j'avais oublié de fermer la page )










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