calculer le spectre d'une matrice

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Posted by: lynneur

bonjour,
je souhaite savoir comment on fait pour calculer le spectre d'une matrice.
par exemple:
je pose A la matrice
-1 1 0
0 -1 1
1 0 -1

je sais que pour calculer le spectre on fait (A-XIn),

ce qui signifie que Sp(a)=
-1-X 1 0
0 -1-X 1
1 0 -1-X


voila , c'est la que mon probleme commence je comprend pas comment le Sp(a) devient =
-X 1 0
-X -1-X 1
-X 0 -1-X


apres Sp(a) devient=-X *
1 1 0
1 -1-X 1
1 0 -1-X


=-X *
1 1 0
0 -2-X 1
0 -1 -1-X
j'ai un probleme aussi sur ce dernier passage.
merci d'avance pour votre aide.

lynneur


Posted by: singleton

Pour éviter de te résoudre bêtement l'exercice ... : connais-tu la définition du spectre ? Donne la nous !


Posted by: Rain'

Citation:
Posté par lynneur
bonjour,
je souhaite savoir comment on fait pour calculer le spectre d'une matrice.
par exemple:
je pose A la matrice -1 1 0
0 -1 1
1 0 -1

je sais que pour calculer le spectre on fait (A-XIn),


Oui enfin on cherche det(A-XIn) :

Citation:

ce qui signifie que Sp(a)= -1-X 1 0
0 -1-X 1
1 0 -1-X


Non là tu écris que le spectre vaut une matrice or le spectre c'est un ensemble de réels, il s'agit plus précisément des racines du polynôme que tu obtiens en calculant le déterminant précédemment indiqué.


Pour calculer le det développe par colonne, ça donne :

Khi(X) = (-1-X)^3 + 1


Posted by: lynneur

Pour calculer le det développe par colonne, ça donne :

Khi(X) = (-1-X)^3 + 1 (1+1+X)[/QUOTE]


calculer le khi(X), je sais le faire , en faite mon probleme c'est de passer de la ligne 1 a la ligne 2 lorsque je fait (A-XIn)


Posted by: Rain'

Pour passer de la ligne 1 à la ligne 2

ils ont remplacé la première colonne par la somme des 3, ce qui ne change pas le déterminant.


Posted by: lynneur

Citation:
Posté par Rain'
Pour passer de la ligne 1 à la ligne 2

ils ont remplacé la première colonne par la somme des 3, ce qui ne change pas le déterminant.


merci rain'
je vais encore t'embeter , mais pour passer de la 3 à la 4?
merci d'avance.


Posted by: Rain'

2ème ligne - 1ère
3ème ligne - 1ère.


Posted by: lynneur

encore merci rain'


Posted by: Joker62

Si on pose

http://www.maths-forum.com/images/l...0e3139979ea.gif

On voit que J^3 = I
En prenant I la matrice identité
On a A+I = J

Ainsi (A+I)^3 = I
D'où (A+I)^3 - I = 0

(X+1)^3 - 1 est un polynôme annulateur de A.










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