Mathématiques - Calculer le pgcd

Calculer le pgcd
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Posted by: aviateurpilot

salut tt le monded

Soient m et n des entiers premiers entre eux. Calculer le pgcd
des entiers $5^m + 7^m$ et $5^n + 7^n$

merci d'avance pour vos réponces

Posted by: aviateurpilot

Posted by: aviateurpilot

personne ne veut esquiser une reponse ?

Posted by: Mikou

Salut,
Il est evident que $5^m + 7^m \equiv 5^n +7^n \equiv 0[2]$
De plus on sait ( on peut le demontrer tres facilement ) que le pgcd de deux nombres pairs est un nombre pair.
Comme m et n sont supposés premiers entre eux soit ils sont tout les deux de la forme 2n+1 soit l'un est de la forme 2n et lautre 2n+1 ( en effet deux nombres pairs ne sont jms premiers entre eux )

* cas 1 :
Par symetrie des roles, on prendera m pair et n impair.
comme $5^n+7^n \equiv 1^n+1^n \equiv 0 [2]$ on a $5^n+7^n$ divisible par 2
Apresent il nous suffit de justifier que si m paire alors $5^m+7^m$ n'est divisible qu'une seule fois par deux ( autrement dit sont unique diviseur pair est 2 )
Cela ce fait tres bien par recurrence.
On suppose la propriete vraie au rang m (pair) ( elle est verifiée biensur au rang 0 )
au rang m+2 (le premier nb pair successif a m) :
$5^{m+2} + 7^{m+2} = 5^m \times 25+ 7^m \times (25+24) = (5^m + 7^m) \times 25 + 24\times 7^m$ On conclut qu'au rang m+2 $5^{m+2} + 7^{m+2}$ admet comme seul diviseur pair : 2

Conclusion le pgcd de $5^m + 7^m;5^n +7^n$ avec m pair et n impair est 2

Il reste encore le cas 2 a traiter: m;n tt deux impairs et premiers entre eux

Posted by: aviateurpilot

alors si m et n ont une parité différente
$pgcd(7^m+5^m,5^n+7^n)=2b$ avec b impair
le pgcd c pas 2 d'apres ce que t'a fait

Posted by: Mikou

NON ! il ne peut etre diviser que par 2 ! pas par 4 , pas par 6 ... seulement par 2

Posted by: aviateurpilot

ah oui mikou t'a raison

Posted by: aviateurpilot

si n>ou=2m
$7^n+5^n=(7^m+5^m)(7^{n-m}+5^{n-m})-35^m(7^{n-2m}+5^{n-2m})$
si 2m>n
$7^n+5^n=(7^m+5^m)(7^{n-m}+5^{n-m})-35^m(7^{2m-n}+5^{2m-n})$

donc dans tous les cas $A=pgcd(7^n+5^n,7^m+5^m)=pgcd(7^m+5^m,7^{n-2m}+5^{n-2m})$ car $pgcd(7^m+5^m,35^m)=1$
on pose $f(n)=7^n+5^n$
alors $pgcd(f(n),f(m))=pgcd(f(m),f(n-2m))$ (1)
en utilisant l'operation (1) on va seurement trouver que A=pgcd(f(r),f(r')) avec r et r'
moi je pense que ca sera les rests de la divisition de m et n par 2
si c vrai
si n et m ont une parité differente A=pgcd(f(1),f(0))=pgcd(12,2)=2 c ce que ta trouve mikou
et si n et m ont la meme parité A=pgcd(f(1),f(1))=pgcd(12,12)=12
mais j'en suis pas sure

quelqu'un peut confirmer ou me montrer ou es l'erreur?