Comment calculer la 1ère mensualité d’un prêt à taux fixe à mensualité progressive ?

[nico1892]

Bonjour,

Je recherche la formule mathématique financière pour calculer la première mensualité d’un prêt à taux fixe mais à mensualités progressives.
Par mensualité progressive, on entend que la mensualité (remboursement capital + intérêts) augmente tous les mois sur une base annuelle de 2%.

Je sais que la formule suivante donne la mensualité d’un prêt à taux fixe à mensualité constante.

M = mensualité
C = capital
i = taux d’intérêt
n = nombre de mois de l’emprunt

M = (C*i) / (1-(1+i)^-n)

Mais, si la mensualité est progressive, quelle est la formule pour calculer la première mensualité ? Celle-ci évoluera tous les mois de 0,1655% pour atteindre 2% au bour de 12 mois (base de 2% sur une année) ?

Merci pour votre aide, j’ai demandé à mon banquier mais celui-ci est resté sans réponse…

Nicolas

[yos]

j’ai demandé à mon banquier mais celui-ci est resté sans réponse…

Non?

Même raisonnement que pour mensualité fixe.
On note la mensualité le mois k :
et le capital : où a=1+i/100.
Au lieu d'arriver à une suite arithmético-géométrique () comme dans le cas d'une mensualité fixe, on arrive à une relation un peu plus compliquée : . On se ramène à une arithmético-géométrique en divisant les deux membres par .
Courage!

[nico1892]

Merci mais je crois que je n'y comprends pas tellement plus que mon banquier :we:

Je n'arrive pas à appliquer la formule.
Peut-on illuster la formule obtenue par un exemple chiffré pour déterminer le M1?

si le capital = 100.000, le taux d'intérêt = 5% et le nombre de mensualités= 120, quel est ma première mensualité?

Merci tout de même,
Nicolas

[bonix]

Bonjour,
Je ne parviens pas à trouver la formule analytique du taux annuel en fonction du capital emprunté, de la mensualité et du nombre de mensualités?
Cdlt,
bonix

[SAGE63]

Bonjour,
Je ne parviens pas à trouver la formule analytique du taux annuel en fonction du capital emprunté, de la mensualité et du nombre de mensualités?
Cdlt,
bonix

Bonjour

Ce problème demande à utiliser la notion des INTERETS COMPOSES et la
notion de TAUX EQUIVALENT

Le taux équivalent au taux annuel de 5 % l'an est de 0,40741237836 % par mois.
soit un taux de 0,004074124 pour 1 par mois.
La raison augmente tous les mois suivant un taux annuel de 2 %. soit 1,02
soit pour un mois la raison sera de 1,00165158130


VALEUR ACTUELLE (ou CAPITAL EMPRUNTE) REMBOURSEE par des ANNUITES DE FIN DE PERIODE
EN PROGRESSION GEOMETRIQUE

La valeur actuelle nous est fournie par la formule suivante :

C = a *[ 1 - q;) (1+i););) ] / [ 1+i) - q ]

avec
C = Capital = 100 000
a = montant du premier remboursement
i = taux d'intérêt périodique
q = raison de la progression géométrique des remboursements périodiques

avec, dans ce problème :

C = 100 000,00
a = à calculer
i = 0,004074124 pour 1.
q = 1,001651581
n = mensualités = 120

Nous avons :
n = 120
i = 0,00407412378
1+i = 1,00407412378
(1+i););) = 0,61391325354
q = 1,00165158130
q;) = 1,21899441999

On obtient :

C = a * [ 1 - q;) ( 1+i););) ] / [ (1+i) - q ]

100 000,00 = a * [ 1 - ( 1,21899441999 * 0,61391325354 ) ] / ( 1,00407412378 -1,00165158130 )
100 000,00 = a * [ 1 - ( 0,74835683043 ) ] / ( 0,00242254248 )
100 000,00 = a * 0,25164316957 / 0,00242254248
100 000,00 = a * 103,87564778368
100 000,00 / 103,87564778368 = a
962,689544 = a

Le montant de la première mensualité est de 962,69 euros.

[Vincent40]

Bonjour

Ce problème demande à utiliser la notion des INTERETS COMPOSES et la
notion de TAUX EQUIVALENT

Le taux équivalent au taux annuel de 5 % l'an est de 0,40741237836 % par mois.
soit un taux de 0,004074124 pour 1 par mois.
La raison augmente tous les mois suivant un taux annuel de 2 %. soit 1,02
soit pour un mois la raison sera de 1,00165158130


VALEUR ACTUELLE (ou CAPITAL EMPRUNTE) REMBOURSEE par des ANNUITES DE FIN DE PERIODE
EN PROGRESSION GEOMETRIQUE

La valeur actuelle nous est fournie par la formule suivante :

C = a *[ 1 - q;) (1+i););) ] / [ 1+i) - q ]

avec
C = Capital = 100 000
a = montant du premier remboursement
i = taux d'intérêt périodique
q = raison de la progression géométrique des remboursements périodiques

avec, dans ce problème :

C = 100 000,00
a = à calculer
i = 0,004074124 pour 1.
q = 1,001651581
n = mensualités = 120

Nous avons :
n = 120
i = 0,00407412378
1+i = 1,00407412378
(1+i););) = 0,61391325354
q = 1,00165158130
q;) = 1,21899441999

On obtient :

C = a * [ 1 - q;) ( 1+i););) ] / [ (1+i) - q ]

100 000,00 = a * [ 1 - ( 1,21899441999 * 0,61391325354 ) ] / ( 1,00407412378 -1,00165158130 )
100 000,00 = a * [ 1 - ( 0,74835683043 ) ] / ( 0,00242254248 )
100 000,00 = a * 0,25164316957 / 0,00242254248
100 000,00 = a * 103,87564778368
100 000,00 / 103,87564778368 = a
962,689544 = a

Le montant de la première mensualité est de 962,69 euros.

Bonjour,
si le taux d'intérêts est égal au taux de progressivité comment calcule t on la première échéance car avec votre formule ça me donne le montant du capital initial à moins que je me sois trompé

[SAGE63]

Bonjour,
si le taux d'intérêts est égal au taux de progressivité comment calcule t on la première échéance car avec votre formule ça me donne le montant du capital initial à moins que je me sois trompé

Bonjour

Je pense qu'il faut revoir vos calculs.

Je me propose de vous aider à résoudre votre problème.

A vous lire.

[Vincent40]

Bonjour

Je pense qu'il faut revoir vos calculs.

Je me propose de vous aider à résoudre votre problème.

A vous lire.

Merci c'est très sympa voici mon cas concret pour lequel je n'arrive pas à calculer la 1ère échéance

c = 336000
t = 0.5%
p = 0.5%
d = 15 ans
la périodicité est annuelle

[SAGE63]

Merci c'est très sympa voici mon cas concret pour lequel je n'arrive pas à calculer la 1ère échéance

c = 336000
t = 0.5%
p = 0.5%
d = 15 ans
la périodicité est annuelle

je désire plus de précision

a) "c" représente quelle notion : valeur actuelle (capital de départ) ou capital acquis
b) "t" le taux d'intérêt de 0.50 % PRECISER par an
c) "p" taux de progression de chaque échéance

[Vincent40]

je désire plus de précision

a) "c" représente quelle notion : valeur actuelle (capital de départ) ou capital acquis
b) "t" le taux d'intérêt de 0.50 % PRECISER par an
c) "p" taux de progression de chaque échéance

a) "c" c'est le capital initial
b) "t" est le taux d'intérêts est annuel
c) "p" le taux de progressivité des échéances

Autre précision les échéances sont annuelles

Merci

[SAGE63]

Merci c'est très sympa voici mon cas concret pour lequel je n'arrive pas à calculer la 1ère échéance

c = 336000
t = 0.5%
p = 0.5%
d = 15 ans
la périodicité est annuelle

Bonjour

On a au dénominateur :

[ (1+i) - q ]

Or avec :
i = 0,5 % soit 0,005 pour 1
(1+i) = 1,005
q = 1,005

quand on calcule [ (1+i) - q ]
soit
[ ( 1,005 ) - 1,005 ]
on obtient
1,005 -1,005 = ZERO

Et comme ZERO est au dénominateur la solution de l'équation en mathématique est IMPOSSIBLE.

Par contre, si on établit le tableau d'emprunt, on peut résoudre votre problème par calculs successifs. Pour cela il faut avoir un tableur et concevoir le tableau d'emprunt (assez) facile à réaliser.
On peut essayer d'établir ensemble ce tableau si vous possédez un tableur.

[Vincent40]

Bonjour,
Oui je veux bien avec excel par exemple

[Vincent40]

En cherchant sur le net j'ai trouvé en fait c'est tout simple voici la formule pour la 1ere echeance dans le cas ou le taux d'interets = taux de progression : V0=NA1/(1+P)
avec V0 = Capital initial
N = Durée
P = Taux de progression
A1= 1ère annuité (celle qu'on cherche)
Merci de votre aide

[SAGE63]

TABLEUR EXCEL : CONCEVOIR UN TABLEAU D'EMPRUNT


ETAPE 1 : INTITULES DES COLONNES : sur les lignes 1, 2, 3 et 4

colonne A : Année
colonne B : Capital dû début de période
colonne C : ligne 1 : Annuité
colonne C : ligne 2 : remboursée
colonne C : ligne 3 : tapper le chiffre : 22 000,00
colonne C : ligne 4 : tapper le chiffre : 1,0050
colonne D : Taux en % intérêt périodique
colonne E : Montant des intérêts
colonne F : Capital remboursé
colonne G : Capital dû en fin de période

FIN de l'étape 1

[Ben314]

quand on calcule [ (1+i) - q ]
soit
[ ( 1,005 ) - 1,005 ]
on obtient
1,005 -1,005 = ZERO
Et comme ZERO est au dénominateur la solution de l'équation en mathématique est IMPOSSIBLE.

Si c'est tout à fait possible : le tout est de se rappeler à quel moment dans le calcul on a fait une "division par zéro".
Et si tu regarde la preuve de la formule en question, tu verra qu'elle utilise la formule (avec si on reprend tes notations).
Or, cette formule n'est clairement pas valable lorsque vu la division par 0 dans le terme de droite (alors que le terme de gauche existe quelque soit la valeur de )
Mais d'un autre coté, trivialement, lorsque alors et ça signifie qu'on peut tout à fait mener les calculs à leur termes et qu'il suffit dans le résultat final de remplaçer le morceau correspondant à par pour avoir le bon résultat.
(on peut aussi obtenir ce même résultat en évaluant la limite lorsque q tend vers 1+i du truc en question plutôt que de brutalement prendre q=1+i)

En résumé, la formule que tu donne (j'ai pas vérifié, je te fait 100% confiance) :
où
devient
dans le cas où (c'est à dire )

[Ben314]

quand on calcule [ (1+i) - q ]
soit
[ ( 1,005 ) - 1,005 ]
on obtient
1,005 -1,005 = ZERO
Et comme ZERO est au dénominateur la solution de l'équation en mathématique est IMPOSSIBLE.

Si c'est tout à fait possible : le tout est de se rappeler à quel moment dans le calcul on a fait une "division par zéro".
Et si tu regarde la preuve de la formule en question, tu verra qu'elle utilise le fait (avec si on reprend tes notations).
Or, cette égalité n'est clairement pas valable lorsque vu la division par 0 dans le terme de droite (alors que le terme de gauche existe quelque soit la valeur de )
Mais d'un autre coté, trivialement, lorsque alors et ça signifie qu'on peut tout à fait mener les calculs à leur termes et qu'il suffit dans le résultat final de remplacer le morceau correspondant à par pour avoir le bon résultat.
(on peut aussi obtenir ce même résultat en évaluant la limite lorsque q tend vers 1+i du truc en question plutôt que de brutalement prendre q=1+i)

En résumé, la formule que tu donne (j'ai pas vérifié, je te fait 100% confiance) :
où
devient simplement
dans le cas où (c'est à dire )

[SAGE63]

Pour BEN314

J'ai lu avec une attention particulière votre réponse. En mathématique pure je suis d'accord avec vous.

Je termine la construction du tableau d'emprunt qui nous donnera la réponse à ce problème et, après j'essaierai de répondre à votre question.......les mathématiques financières apportent des fois des surprises.

En ce qui concerne les formules, qui ne sont pas de moi, je les utilise depuis..............et j'essaie toujours de les reproduire sans erreur.

[SAGE63]

TABLEUR EXCEL : CONCEVOIR UN TABLEAU D'EMPRUNT

ETAPE 2 : REMPLIR LA LIGNE 5

colonne A : tapper le chiffre : 1 (sans aucune décimale)
colonne B : tapper le chiffre : 360 000,00
colonne C : tapper : =C3*1
Le résultat apparaît : 20 000,00
colonne D : tapper le chiffre : 0,50
colonne E : tapper : =B5*D5/100
Le résultat apparaît : 1 800,00
colonne F : tapper : =C5-E5
Le résultat apparaît : 18 200,00
colonne G : tapper : =B5-F5
Le résultat apparaît : 341 800,00

CONTROLEZ BIEN LES RESULTATS à ce stade.

FIN de l'étape 2

[SAGE63]

TABLEUR EXCEL : CONCEVOIR UN TABLEAU D'EMPRUNT

ETAPE 3 : REMPLIR LA LIGNE 6

colonne A : tapper : = A5+1
Le résultat apparaît : 2
colonne B : tapper : =G5*1
Le résultat apparaît : 341 800,00
colonne C : tapper =+C5*$C$4
Le résultat apparaît : 20 100,00
colonne D : tapper : =D5*1
Le résultat apparaît : 0,50

colonne E et F et G :
Copier les cellules E5 et F5 et G5 sur la ligne 6 colonnes E F G
Les résultats suivant apparaissent :
E6 = 1 709,00 formule : =+B6*D6/100
F6 = 18 391,00 formule : =C6-E6
G6 = 323 409,00 formule : =B6-F6

CONTROLEZ BIEN LES RESULTATS à ce stade.

FIN de l'étape 3 - Le plus difficile vient d'être fait.

[SAGE63]

ETAPE 4 : REMPLIR les LIGNES 7 et SUIVANTES

Nous avons (déjà) rempli 2 lignes du tableau d'emprunt.
Comme cet emprunt compte 15 annuités il reste à compléter 13 lignes.
Si cet emprunt comportait 30 semestrialités il resterait à compléter 28 lignes.
Si cet emprunt comportait 60 trimestrialités il resterait à compléter 58 lignes.
Si cet emprunt comportait 180 mensualités il resterait à compléter 178 lignes.

EXCEL va nous aider….. On va procéder à la multiplication des lignes……

Il faut compléter les 13 lignes suivantes de la ligne 7 à la ligne 19
de la façon suivante :

a) COPIER la ligne 6 colonnes A, B, C, D, E, F, et G

b) COLLER-COLLER sur colonne A lignes 7 à 19

MERCI EXCEL le tableau est compét酅……

A TITRE DE VERIFICATION : LIGNE 7

colonne A : 3
colonne B : 323 409,00
colonne C : 20 200,50
colonne D : 0,50
colonne E : 1 617,05
colonne F : 18 583,46
colonne G : 304 825,55

A TITRE DE VERIFICATION : LIGNE 19 DERNIERE LIGNE DU TABLEAU ACTUELLEMENT

colonne A : 15
colonne B : 87 279,47
colonne C : 21 446,42
colonne D : 0,50
colonne E : 436,40
colonne F : 21 010,03
colonne G : 66 269,45

CONTROLEZ BIEN LES RESULTATS à ce stade.

FIN de l'étape 4