Mathématiques - Calcul de volume sur une ellipsoïde

Calcul de volume sur une ellipsoïde
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Posted by: mathieu_t

Bonjour,

Bon j'ai un peu honte de poser la question, mais je patauge un peu :
Comment calculer le volume d'une ellipsoïde, ou plutôt une partie de ce volume ?

Je m'explique : J'ai un volume 3D discrétisé en voxels (éléments de volume en petits cubes), et je voudrais connaître pour chaque élément de volume à la surface de l'ellipsoïde la proportion d'ellipsoïde qu'il y a dedans (cette proportion allant de 0 s'il l'ellipsoïde ne passe pas dedans, à 1 si le voxel est totalement compris dedans).

Il m'est donc naturellement venu l'idée de calculer le volume de la portion d'ellipsoïde traversant un voxel.

Comme je travaille en coordonnées cartésiennes (les voxels étant des petits cubes de 1*1*1 mm^3), mon raisonnement est dans ces coordonnées :

L'équation de l'ellispoïde est $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ avec a, b, c les 3 demis axes, réels strictement positifs.
J'ai alors pris deux cas:
+ si z >=0, $z = c \sqrt{1-(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2})}$
Dans notre cas, on peut définir un voxel dans le demi-plan positif (z>=0) par sa projection sur le plan Oxy (à un voxel, il y a une unique projection) : ses coordonnées sont le bord inférieur gauche (u,v) et le bord supérieur droit (u+1,v+1), et le volume que l'on souhaite calculer correspond alors à :
$\int_{u}^{u+1} \int_{v}^{v+1} z(x,y) dx dy - h = c \int_{u}^{u+1} \int_{v}^{v+1} \sqrt{1-(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2})} dx dy -h$ où $h = z(u,v)$

... Et c'est là que je coince, car je n'arrive pas à intégrer cette fonction (si j'intègre par rapport à x par exemple, je vais me retrouver avec une formule compliquée pleine de racines carrées et de ln, que je n'arrive pas à intégrer)...

+ si z < 0 : même raisonnement, mais avec -c au lieu de c...

++ J'ai pensé à passer en coordonnées sphériques, mais je patauge...

Suis-je clair ? Mon raisonnement est-il bon ? Une idée ?

Posted by: jose_latino

La méthode est, avant d'utiliser coordonées sphériques, transformer l'ellipsoïde à une sphère, avec une transformation linéaire:
$\xi=x/a$
$\eta=y/a$
$\zeta=z/a$
Si tu connais le théorème du changement de variables pour les intégrals triples, tu n'auras pas de problème. Bonne chance!

Posted by: jose_latino

Je crois que tu sais utiliser seulement des intégrals doubles. C'est la même idée. Pour intégrer une fonction, il faut savoir décrire l'ensemble où tu vas intégrer, dans ce cas:
$\mathcal{E}=\{(x,y,z)/-a\leq x\leq a, -\sqrt{a^2-x^2}\leq y\leq \sqrt{a^2-x^2}, -c\sqrt{a^2-x^2-y^2}\leq z\leq c\sqrt{a^2-x^2-y^2}\}$
Donc, tu vas intégrer $f(x,y) = c \sqrt{1-(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2})}$ , sur l'ensemble $\mathcal{R}=\{(x,y)/-a\leq x\leq a, -\sqrt{a^2-x^2}\leq y\leq \sqrt{a^2-x^2}\}$ (ellipse et son intérieur)
On peut faire des petit changement de variables:
$\xi=x/a$
$\eta=y/b$
Ça veut dire qu'on va utiliser la transformation $T(\xi,\eta)=(a\xi,b\eta)=(x,y)$
Alors: si $\mathcal{R}'=\{(\xi,\eta)/-1\leq \xi\leq 1, -\sqrt{1-\xi^2}\leq \eta\leq \sqrt{1-\xi^2}\}$ (cercle), alors $T(\mathcal{R}')=\mathcal{R}$
Par le théorème du changement de variables:
$\underset{\mathcal{R}}{\int\int}f(x,y)dxdy= \underset{\mathcal{R}'}{\int\int} f(T(\xi ,\eta))|\det(T)|d\xi d\eta$
Ici, tu peux appliquer les coordonées polaires, car, $\mathcal{R}'$ est un cercle. Bon courage!

P.S: Tu peux remarquer que $\underset{\mathcal{R}'}{\int\int} f(T(\xi ,\eta)) d\xi d\eta$ est la moitié du volume de la sphère unitaire.

Posted by: mathieu_t

Salut !

Tout d'abord merci pour ta réponse.

Ensuite, quelques éclaircissements, et surtout quelques questions :
D'abord je ne souhaite pas intégrer sur toute l'ellipse (ou sphère par changement de variables), mais uniquement sur une petite partie.

Ensuite, ça n'est pas que je ne sais utiliser que des intégrales doubles, c'est surtout que je ne sais pas comment m'y prendre autrement (et oui, les maths commencent à cruellement dater pour moi, et pourtant j'en ai de plus en plus besoin en ce moment) :
D'où la question :
Euh ? C'est possible d'intégrer directement avec l'équation $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ ?? (Le souci c'est que je ne vois pas comment... ça n'est pas une fonction, mais une équation...).
Parce que si ça existe, je suis preneur...

En attendant, j'ai trouvé ma méthode "bidouille" qui consiste à exprimer z en fonction des 2 autres variables puis d'intégrer...

Bon, en partant du principe que je n'arrive à utiliser que cette bidouille pour le moment, je suis arrivé au résultat suivant (je mets ça ici histoire de voir si j'ai pas fait une c... dans mes calculs) :
Avec le changement de variable, ça donne :
$V = \int_{u}^{u+1} \int_{v}^{v+1} \sqrt{1-(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2})} dx dy = a b \int_{\frac{u}{a}}^{\frac{u+1}{a}} \int_{\frac{v}{b}}^{\frac{v+1}{b}} \sqrt{1-(\epsilon^2+\eta^2)} d\epsilon d\eta$

A présent, passons en coordonnées polaires :
Je pose $\epsilon = r \cos \theta$ et $\eta = r \sin \theta$ .
Le changement de variable me donne :
$\int_{\frac{u}{a}}^{\frac{u+1}{a}} \int_{\frac{v}{b}}^{\frac{v+1}{b}} \sqrt{1-(\epsilon^2+\eta^2)} d\epsilon d\eta = \int_{\theta = arctan(\frac{u.b}{a (v+ 1)})}^{arctan(\frac{(u+1).b}{a v})} \int_{r = \sqrt{\frac{u^2}{a^2}+\frac{v^2}{b^2}}}^{\sqrt{ \frac{(u+1)^2}{a^2} + \frac{(v+1)^2}{b^2}}} r \sqrt{1 - r^2} dr d\theta$ .

Si je ne m'abuse,
$\int r \sqrt{1-r^2} dr = - \frac{1}{3} ( 1 - r^2 )^{3/2}$

Finalement,
$V = \frac{1}{3} a b (B - A) (C - D)$
Avec
$A = arctan( \frac{(u+1) b}{a v} )$
$B = arctan( \frac{u b}{a (v+1)} )$
$C = \left[ 1 - \frac{(u+1)^2}{a^2} - \frac{(v+1)^2}{b^2} \right]^{3/2}$
$D = \left[ 1 - \frac{u^2}{a^2} - \frac{v^2}{b^2} \right]^{3/2}$

J'ai bon ?

Merci au fait !

Posted by: jose_latino

C'est pas aconseillé intégrer directement, mais je te donne la formule:
$V =2c\int_{-a}^{a}\left( \int^{ b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}}_{-b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}} \sqrt{1-(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}) } dy\right) dx = 2ac\int_{-1}^{1}\left( \int^{ b\sqrt{1-\xi^2}}_{-b\sqrt{1-\xi^2}} \sqrt{1-(\xi^2+\frac{y^2}{b^2}) } dy\right) d\xi=2a b c\int_{-1}^{1}\left( \int^{ \sqrt{1-\xi^2}}_{-\sqrt{1-\xi^2}} \sqrt{1-(\xi^2+\eta^2) } d\eta\right) d\xi$ (*)

Posted by: jose_latino

C'est en (*) où tu peux utiliser les coordonées polaires
$2a b c\int_{-1}^{1}\left( \int^{ \sqrt{1-\xi^2}}_{-\sqrt{1-\xi^2}} \sqrt{1-(\xi^2+\eta^2) } d\eta\right) d\xi=2a b c\int_{0}^{2\pi}\left( \int^{ 1}_{0} \sqrt{1-r^2 } rdr\right) d\theta$
À partir d'ici, c'est pas difficil arriver à la réponse. Bon courage!

Posted by: jose_latino

Citation:

Posté par mathieu_t

D'où la question :
Euh ? C'est possible d'intégrer directement avec l'équation $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ ?? (Le souci c'est que je ne vois pas comment... ça n'est pas une fonction, mais une équation...)

Avec l'équation donnée, tu as seulement la frontière de cet ensemble. Tu as que la région est décrite de la façon suivante:
$\mathcal{E}=\{(x,y,z)/-a\leq x\leq a, -\sqrt{a^2-x^2}\leq y\leq \sqrt{a^2-x^2}, -c\sqrt{a^2-x^2-y^2}\leq z\leq c\sqrt{a^2-x^2-y^2}\}$
Pour intégrer il faut décrire la région à intégrer de la façon indiqué. Pour faire ça, j'ai utilisé l'équation que tu as donné. Une autre façon de décrire la région est:
$\mathcal{E}:\, \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \leq 1$

Posted by: mathieu_t

Salut !

Pour ce qui est de la solution, c'est ok.

Par contre,

Citation:

Ok, mais j'intègre quoi ???

Posted by: jose_latino

Si une région est décrite de la manière:
$\mathcal{C}=\{(x,y,z)/a\leq x\leq b, \psi(x)\leq y\leq \phi(x), f(x,y)\leq z\leq g(x,y)\}$
alors, on a que son volume est:
$\int_{a}^{b}\left( \int^{\phi(x)}_{\psi(x)} [g(x,y)-f(x,y)] dy\right) dx$