Mathématiques - calcul vectoriel et geometrie affine

calcul vectoriel et geometrie affine
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: newkroy

salut a tout le monde , me revoila,longue longue absence de ma part lol
désolé

j'ai entamé un nouveau chapitre , et sa fait super longtemps que j'ai pas bosser sur les calculs vectoriels, et donc j'ai plusieurs problemes...de l'aide serait la bienvenue..

1-trouver l'angle téta entre les vecteurs joignant dans un repere orthonormé l'origine aux points A=tr(1,0,-1) et B=tr(0,1,1)

2-soient x,y deux vecteurs dans R^n muni de la norme euclidienne. on définit l'angle téta des vecteurs x et y en posant :
téta = <(x,y) = arcos ((x,y)/(norme de x * norme de y))
determiner <((2,0),(1,1)),<((2,-2,-1),(0,1,1))
dessiner ces vecteurs

3-soient x et y deux vecteurs dans R^n muni de la norme euclidienne . vérifier l'inégalité de Cauchy Shwarz
l<x,y>l<=norme de x * norme de y
indication : considerer le produit scalaire (x+ty,x+ty) ou t est un scalaire réel

4-soit E un espace vectoriel muni d'un produit scalaire <.,.>. on dit qu'une application T:E-->E est isometrie si norme de Tx = norme de x pour tout x dans E
-verifier que T est une isometrie si seulement si <Tx,Ty>=<x,y> pour tout x et y dans E
-montrer qu'une telle application est une bijection et que T^-1 est aussi une isomtrie

alors je demande pas l'impossible, c'est vrai que l'idéal est d'avoir les solutions lol, mais bon des indications ou alors des liens de sites, en fait je suis ouvert a toute proposition, topologiquemnet parlant je suis ouvert lol...++ merci

Posted by: busard_des_roseaux

Bjr,

les formules à utiliser proviennent du fait que le produit scalaire
dans $\mathbb{R^3}$ a plusieurs écritures:

dans une base orthonormée:
$\vec{u}.\vec{v}=x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2$

$\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}|| ||\vec{v}|| cos(\theta)$

d'où la formule avec arccos.

De plus, la norme euclidienne provient d'un produit scalaire, ce qui n'est pas
le cas pour les autres normes de $\mathbb{R^3}$

On a:

$||\vec{u}||^2= \vec{u}.\vec{u}$

et

$||\vec{u}+\vec{v}||^2= \left( \vec{u}+\vec{v} \right) . \left( \vec{u}+\vec{v} \right)$

tu peux utiliser la bilinéarité du produit scalaire, qui donne des développements
similaires aux identités remarquables vues en classe de troisième.

exemple:
$\left( \vec{u}- \vec{v} \right) . \left( \vec{u} + \vec{v} \right)<br /> = ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2$

Pour établir , l'inégalité de Schwarz, il faut remarquer que
$||\vec{u}+ \lambda \vec{v}||^2$ avec $\lambda \in \mathbb{R}$
est un trinome du second degré en $\lambda$
en développant, que ce trinome ne change pas de signe et considérer
son discriminant.

Cordialement,

[Schwarz vaut bien une majuscule.AD]