Citation:
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Posté par Chimerade
On part de
              ...  ...   On a donc six digits au bout de 110 itérations. |
soit 
. Malheureusement, cette chose est une équation polynomiale de haut degré, donc il n'est pas possible de déterminer les solutions de manière exacte. On peut envisager des valeurs approchée si on sait que T est petit (de l'ordre de quelques %)![\Large M = \frac{C \times (\frac{T}{12}) \times [1 + (\frac{T}{12}) ]^N}{ ([1 + (\frac{T}{12})]^N - 1)}](http://www.maths-forum.com/images/latex/3a4a7a0ed0de44741963d6fde46640ba.gif "\Large M = \frac{C \times (\frac{T}{12}) \times [1 + (\frac{T}{12}) ]^N}{ ([1 + (\frac{T}{12})]^N - 1)}")
d'abord :![\Large M = \frac{C \tau [1 + \tau]^N}{ ([1 + \tau ]^N - 1)}](http://www.maths-forum.com/images/latex/a21136150af0f5920aa3fbfece2c0b6c.gif "\Large M = \frac{C \tau [1 + \tau]^N}{ ([1 + \tau ]^N - 1)}")
![\Large [1 + \tau ]^N](http://www.maths-forum.com/images/latex/e85e9f53295f12682343c4e6d56b79a3.gif "\Large [1 + \tau ]^N")
:![\Large M = \frac{C \tau }{ 1 - [1 + \tau ]^{-N}}](http://www.maths-forum.com/images/latex/38702da3068bf71210352458dee2143b.gif "\Large M = \frac{C \tau }{ 1 - [1 + \tau ]^{-N}}")
. Bon ! Pas la peine de se fatiguer. Il n'y a pas de solution directe...![\Large \tau = \frac{M\times [1-(1+\tau)^{-N}]}{C}](http://www.maths-forum.com/images/latex/91ccb9618de21b338a27b0ae8265135f.gif "\Large \tau = \frac{M\times [1-(1+\tau)^{-N}]}{C}")
, c'est un jeu d'enfant de trouver C, ou N, ou M si l'on connaît les trois autres variables. Seule l'équation en 
pose problème. Le moyen de calculer est de définir une suite 
, 
, 
,...par :
une première approximation de 
![\Large U_{n+1} = \frac{M\times [1-(1+U_n)^{-N}]}{C}](http://www.maths-forum.com/images/latex/f6d5f788e00846a72c121eeea09e134a.gif "\Large U_{n+1} = \frac{M\times [1-(1+U_n)^{-N}]}{C}")
avec une excellente précision. S'il s'agit d'un prêt plus court, 24 ou 36 mois par exemple, il faut itérer plus longtemps, mais ce n'est jamais très long.
car si on s'éloigne trop de la solution, la suite peut diverger. Dans la pratique, je m'en suis toujours tiré en partant d'une valeur pifométrique : 0.01 pour les prêts à court terme, 0.005 pour les prêts à long terme...
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Posté par aiecaramba
RE,
Je viens de tester ta solution sur Excel. Mais ça ne marche pas : Faisons avec des chiffres : Montant du crédit : 12000 Mensualité : 365 Nombre de périodes : 24 Pour N=0, posons T/12 = 0.10 Pour N=1, T/12 = =(365*(1-(1+0,10)^-24))/12000 = 0.03 Et plus on a de période plus le taux diminue ! Pourquoi ? Normalement, on devrait trouver un taux de 6% environ.... |
, le n est une variable courante qui n'a rien à voir avec le N de l'équation ! De toutes façons, tu gardes le même N. Et, pour éviter les confusions, je te dis de calculer : une première approximation de ![\Large U_{k+1} = \frac{M\times [1-(1+U_k)^{-N}]}{C}](http://www.maths-forum.com/images/latex/2ce7c842d5165e0104e91fd70bad1075.gif "\Large U_{k+1} = \frac{M\times [1-(1+U_k)^{-N}]}{C}")
à l'aide de la valeur précédente 
, mais le N ne bouge pas. Dans ton exemple il est égal à 24.
pour le mois soit environ 0,00486755... J'ai dit qu'il fallait que la première approximation ne soit pas trop éloignée du résultat final car il y a risque de divergence. Donc, si tu approximes 6% l'an par (6/12)% le mois, soit 0,5% le mois, c'est relativement acceptable (par rapport à 0,486755%, ça peut aller). Mais prendre (T/12)=0.10 c'est complètement délirant. 10% par mois, ça fait du 213% l'an !!!! Aucune chance que ça converge !
% le mois, donne lieu à un remboursement de 530.99 par mois. Inversement, en partant de 12000 à rembourser en 24 mensualités de 530,99, en partant de 
, on obtient :![\Large \tau_{1} = \frac{530.99\times [1-(1+\tau_0)^{-24}]}{12000}](http://www.maths-forum.com/images/latex/892102ec8e9f0f2d0f8e45d15f1ceab4.gif "\Large \tau_{1} = \frac{530.99\times [1-(1+\tau_0)^{-24}]}{12000}")
![\Large \tau_{2} = \frac{530.99\times [1-(1+\tau_1)^{-24}]}{12000}](http://www.maths-forum.com/images/latex/c6b00e3ec4d2b0cc26b3ae16057a842a.gif "\Large \tau_{2} = \frac{530.99\times [1-(1+\tau_1)^{-24}]}{12000}")
![\Large \tau_{3} = \frac{530.99\times [1-(1+\tau_2)^{-24}]}{12000}](http://www.maths-forum.com/images/latex/daed493295d153aed88752137e501355.gif "\Large \tau_{3} = \frac{530.99\times [1-(1+\tau_2)^{-24}]}{12000}")
![\Large \tau_{110} = \frac{530.99\times [1-(1+\tau_{109})^{-24}]}{12000}](http://www.maths-forum.com/images/latex/edc0832330071499c688c64bd2ec55da.gif "\Large \tau_{110} = \frac{530.99\times [1-(1+\tau_{109})^{-24}]}{12000}")
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Posté par Chimerade
Attends, il faut être sérieux ! Désolé, ma méthode ne marche pas pour les intérêts négatifs !
Tu empruntes 12000 et tu rembourses en 24 mensualités de 365 ! Cela ne suffit même pas pour un prêt à intérêt nul, car 24*365 = 8760 ! Donne-moi vite l'adresse de ton banquier ! Il m'intéresse beaucoup. |
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Posté par Fract83
Hello,
Vu ce qui a deja ete dit (impossibilite de trouver une formule exacte pour le probleme pose), pourquoi ne pas tout simplement utiliser les outils qu'Excel propose ?? Je pense a la fonction "valeur cible", ou au plus puissant "solveur" (macro complementaire a installer) ? Ca serait plus simple, je pense, non ? Bonne soiree. |
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Posté par Chimerade
On part de
... ... On a donc six digits au bout de 110 itérations. |
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