Mathématiques - Calcul des normales

Calcul des normales
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Posted by: Morpheus

Bonjour,

ESt-ce que quelqu'un pourrait m'indiquer comment calculer la normale pour les formes géométriques suivantes :
-sphere
-cone
-cube
-cylindre
-paraboloide

Merci

Posted by: Epsilon

le normal N est le produit vectoriel des vecteurs qui composent le plan tangent

Posted by: mathelot

l'équation d'une sphère $S^{n-1}$ est:
$\sum_{i=1}^{n} (x_{i}-a_{i})^2=R^2$
où $(a_{1},a_{2} \cdots, a_{n})$ sont les coord. du centre.
en différentiant avec un élément $(h_{1},\cdots h_{n})$
$2 \sum_{i=1}^{n} (x_{i}-a_{i})h_{i} =0$
donc:
un vecteur normal a pour coord:
$(x_{1}-a_{1},.., x_{n}-a_{n} )$ )

2) pour le cube, il suffit de prendre un repère lié à un sommet
et de regarder la chose visuellement.
on a des normales sur chaque face sauf sur les arêtes
qui sont simplement $\vec{i} , \vec{j} , ou \vec{k}$
ou leurs opposés selon les faces. La normale n'est pas définie sur les aretes ni sur les sommets.

Posted by: mathelot

Pour la paraboloïde, Wikipédia nous apprend qu'un équation
dans un repère bien choisi est:
${\left( \frac{x}{a} \right) }^2 + {\left( \frac{y}{b} \right) }^2 - 2 z = 0$
soit $\vec{h}$ un vecteur du plan tangent de coord $(h_{1},h_{2},h_{3})$
en différentiant l'équation, il vient:
$2 \left( \frac{x}{a}h_{1}+\frac{y}{b}h_{2}-h_{3} \right) = 0$
un vecteur normal a donc pour coord:
$(\frac{x}{a},\frac{y}{b},-1)$

Posted by: fahr451

tes exemples sont tous ( sauf cube)des quadriques surfaces du second degré

d'équation ax^2 +by^2 cz^2 + dxy+exz+fyz +gx+hy+iz = j (E)

pour avoir l'équation du plan tangent ( et donc d 'un vecteur normal) au point M0(x0,yo,z0) on utilise des règles simples (dédoublement de termes)
dans (E)
on remplace x^2 par xx0 idem pour les autre carrés
on remplace xy par (x0y+xy0)/2 idem pour les autres termes rectangles
on remplace x par (x+x0)/2 ide m pour les autres

exemple la sphère unité

x^2+y^2+z^2 = 1 (S)
équation du plan tangent

xx0 + yy0 +zz0 = 1 vecteur normal : (x0,y0,z0)