Voila j'ai des difficultés à résoudre un problème :
Soit la matrice A=
1 2 3
2 3 1
3 1 2
On demande d'abord de vérifier que (A-6I)(A²-3I)=0 ... ça pose pas de problème
C'est après que je bloque :
-Soient n N et le polynome de degrés <=2 tel que :
Je dois montrer que
-Meme question pour n Z
Merci pour votre aide
Posted by: Joker62
Diagonalise d'abord A
Tu pourras déjà exprimé les puissances de A en fonction d'une matrice diagonale
Posted by: fahr451
tu(ou quelqu'un d 'autre) a(s) déjà posé cette question
j (et d autres ) y ont déjà répondu
division euclidienne reste etc
Posted by: yocto
ah ok j'vais aller y faire un tour.
nan nan j'm'amuse pas à poser 20 fois les mêmes kestions
Posted by: fahr451
écrivons la division euclidienne de X^n par (X-6)(X^2-3)
X^n = (X-6)(X^2- 3)Q(X) +Pn(X) avec Pn de degré 2 (*)
en substituant A à X on obtient
A^n = Pn(A)
et en évaluant (*) en 6 et rac(3) on obtient les relations demandées
Posted by: yocto
merci fahr, mais avec Z, c koa la différence essentielle ?
Posted by: fahr451
ha oui X^n n négatif n'étant pas un polynome on ne peut plus parler de division euclidienne faut ruser là
Posted by: fahr451
c'est plus subtil je trouve
on pose B = A^-1
on a (A-6I)(A^2- 3I) = 0 = C(A) on en déduit deux choses
(I-6B)(I-3B^2) = 0 (en simplifiant par A^3)
soit L(B) = 0 avec L(X) = (1-6X)(1-3X^2)
et aussi :A^3 -6A^2- 3A = -18 I (en développant) soit
A^(-1) = (A^2 -6A- 3I)(-18) = K(A) avec K(6) = 1/6 et
K(rac(3)) = 1/rac(3) idem avec -
on fait avec B comme avec A
n positif
X^(n) = Q(X)L(X) +Rn(X) degRn=<2
donc B^n = Rn(B)
on a 6^n = Rn(1/6) idem avec les rac(3)
soit A^(-n) = Rn(A^-1) = Rn(K(A)) = Rn°K (A)
et on a bien Rn°K(6) = Rn(1/6) = 1/6^n
mais Rn°K est de degré 4 reste à faire la division euclidienne de Rn°K par C
Rn°K = Q1(X)C(X) +P(-n)
d'où A^(-n) = P(-n) (A)
et le P(-n) va bien :bonnes valeurs et bon degré.
N et 
le polynome de degrés <=2 tel que :
