Calcul matriciel

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Posted by: Florix

Bonjour,

Voici un exercice dont j'ai la correction mais à vrai dire elle est très incomplète et ne donne que le debut des explications... bref autant dire que je n'ai pas la correction de cet exercice lol et que je n'y arrive vraiment pas !

ENONCE DE L'EXERCICE

Rien que l'application linéaire je vois pas comment l'appliquer ! Parce que selon la définition ( f(Alpa u ) + f (Beta v) = alpha f(u) + beta f(b) ) là avec g(x) = x f ' (x) que faut-il vérifier ???

Tant qu'aux autres questions, je voulais vérifier les 3 conditions sur les espace vectoriels (stable par linéarité, inclu dans le domaine de définition et différent de 0) mais ça me parait assez laborieux !

J'ai besoin de vous !!!!

Merci d'avance


Posted by: Quidam

Citation:
Posté par Florix
Rien que l'application linéaire je vois pas comment l'appliquer ! Parce que selon la définition ( f(Alpa u ) + f (Beta v) = alpha f(u) + beta f(b) ) là avec g(x) = x f ' (x) que faut-il vérifier ???

Pour vérifier que \Large \phi est bien linéaire, il faut vérifier que :
\Large \phi(\alpha f_1+\beta f_2) = \alpha \phi(f_1)+\beta \phi(f_2)
Cela fait donc référence au produit d'une fonction par un scalaire :
\Large [\alpha f_1](x) = \alpha \times f_1(x)
et à la somme de deux fonctions :
\Large [f_1+f_2](x) = f_1(x)+f_2(x)


Posted by: Florix

ouais je suis d'accord (c'est la définition !) mais comment l'appliquer avec mon énoncé ?

Et que faire des espaces vectoriels ?

J'y arrive toujours pas


Posted by: Florix

Parce que comment appliquer l'equation de l'applicaiton linéaire ? Et comment faire l'espace vectoriel ? N'y a t'il pas d'autres méthodes ?


Posted by: elladan

Tes espaces vectoriels ne sont pas forcément sur des "vecteurs".
Ici, il s'agit d'un espace vectoriel de fonctions : ta condition de linéarité s'écrit donc :
\phi(\lambda f + \mu g)=\lambda \phi(f) + \mu \phi(g)
Ce qui, pour ton énoncé, nous donne :
x (\lambda f + \mu g)^\prime=\lambda (x f^\prime) + \mu (x g^\prime)
ce qui est parfaitement vrai par linéarité de la dérivée.

Quand au noyau, le fait que ce soit un espace vectoriel est du cours. Inutile de le redémontrer.
Je pense plutôt que ce qu'on te demande de chercher c'est la dimension (2) et la base.


Posted by: Florix

En effet la démonstration c'est du cours ! Mais comment on fait pour trouver la dimension et la base ??

Tant qu'à la question d'apres, j'ai strictement aucune idée de ce qu'il faut faire


Posted by: elladan

Pour trouver la dimension ou la base, cherche les fonctions telles que, une fois qu'on leur a appliqué phi deux fois, on trouve 0.
Cela revient à trouver les f telles que
\forall x \in \mathbb{R}, x (x f'(x))' = 0
Autrement dit,
x f''(x) + f'(x) = 0
Ce qui te fait une équation différentielle du premier ordre en f ' qui devrait être assez simple à résoudre.

Pour la question d'après, il va falloir montrer que F est bien un espace vectoriel (et là, ce n'est pas du cours, donc tu n'échapperas pas aux propriétés à vérifier).
Ensuite, pour montrer que la famille qu'ils proposent est bien une base, montre qu'elle est génératrice de ton espace (facile) et qu'elle est libre (pas beaucoup plus difficile : il n'y a qu'à l'écrire et appliquer tes deux fonctions en un point convenablement choisi)










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