Calcul d'intégrale

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Posted by: Hyp

Bonsoir (ou bonjour, cela dépend :p),

Bon alors, soient α<β. Calculer I(n,m) pour n€IN, m€IN défini par :


I(n,m) = Intégrale [α à β] de (x-α)^n (x-β)^m dx

En intégrant par partie, on remarque que la primitive s'annule (comme il y'a α et β dans les bornes), et l'intégrale restante devient un peu plus compliquée.

Je trouve par exemple que I(n,m) = - m-1/n+1 intégrale (x-α)^n+1 (x-β)^m-1 dx.

C'est peut être une relation de récurrence ?


Une indication s'il vous plait, merci pour votre aide.


Posted by: emdro

Bonsoir,

c'est bien.
Tu n'as qu'à utiliser cette formule m fois, et les (x-bêta) disparaîtront. Tu sauras alors calculer l'intégrale.


Posted by: emdro

Citation:
Posté par Hyp
I(n,m) = - m-1/n+1 intégrale (x-α)^n+1 (x-β)^m-1 dx.


Au passage, vérifie ton -(m+1) au numérateur... Il apparaît en dérivant x->(x-β)^m ?


Posted by: Hyp

Merci bien, j'avais cette idée en tête, et j'avais peur que cela influe sur le comportement de l'entité en n (car c'est peut être un problème si n<m) mais je viens de remarquer que les puissances de n augmentent donc le cas n=1 (éventuellement) n'a aucune importance.

Encore merci Emdro, je finis le calcul :)


Posted by: emdro

Une fois que tu auras ta solution, vérifie-la sur un exemple.

Tu peux aussi la poster, je te dirai si c'est bon...


Posted by: Hyp

Citation:
Posté par emdro
Au passage, vérifie ton -(m+1) au numérateur... Il apparaît en dérivant x->(x-β)^m ?


Oups désolé, c'était m en effet et non pas m-1, et oui j'ai dérivé x->(x-β)^m. Il est également possible de dériver autrement, enfin je pense. (Je m'attends à un Zero à la fin, intuition masculine )


Posted by: emdro

Citation:
Posté par Hyp
(Je m'attends à un Zero à la fin, intuition masculine )


Zéro pour l'intégrale?
La fonction sous le signe somme ne garde-t-elle pas un signe constant?

Intuition masculine à compléter de quelques connaissances du cours!!


Posted by: Hyp

Bon, sauf erreur voici la formule de récurrence que j'ai dégagé :

I(n,m) = (-1)^k * [m*(m-1)*..*(m-k) / (n+1)*..*(n+k)] * I(n+k, m-k)

Pour k=m je vais tout de suite conclure..

EDIT: Je suppose qu'il y'a quelque chose qui cloche quelque part!

Oui en effet, c'est plutôt :

I(n,m) = (-1)^k * [m*(m-1)*..*(m+1-k) / (n+1)*..*(n+k)] * I(n+k, m-k)


Posted by: emdro

Ca m'a l'air bon.

Ne te décourage pas ainsi!

Pense à utiliser les factorielles.


Posted by: Hyp

Euh non cela n'avait pas l'air bon (et ce n'était pas bon) car pour k=m on tombe
sur le stupide 0. Et là ça va donner plutôt *calcule*..


Posted by: emdro

Citation:
Posté par Hyp
I(n,m) = (-1)^k * [m*(m-1)*..*(m+1-k) / (n+1)*..*(n+k)] * I(n+k, m-k)


C'est effectivement un peu mieux!


Posted by: Hyp

... = (m! n!) / (n+m)! * I(n+m, 0)

= (m!n!/(n+m)! * 1/(n+m+1) * [(x-α)^n+m+1] (pris entre α et β)

= ± (β-α)^n+m+1 * (m!n!) / (n+m+1)!


(± car on n'a aucune idée sur la parité* de m)

Mais je pense que le résultat est sous cette forme, car en dérivant par rapport à la quantité en n, ce même résultat est possible à obtenir.


Posted by: emdro

Il n'y a pas un -1 puissance quelque chose?


Posted by: Hyp

Je suppose que c'est mieux maintenant ?


Posted by: emdro

Citation:
Posté par Hyp
I(n,m) = Intégrale [α à β] de (x-α)^n (x-β)^m dx


Tu n'as aucune idée sur le signe de l'intégrale?
Quel est le signe de x-α? de (x-α)^n?
Quel est le signe de x-β? de (x-β)^m?
Quel est le signe de la fonction?
Les bornes sont-elles dans le "bon" sens?

D'autre part, ton (-1)^k, qu'est-il devenu lorsque tu as remplacé k par m?


Posted by: Hyp

Ouch encore désolé, je voulais dire la parité de m (corrigé).

(β-α)^n+m+1 est bien entendu positif car β-α>0 par hypothèse.

Mais (-1)^m est à discuter non ?

(x-α)^n est positif pour tout x € [α,β] évidemment

Par analogie (x-β)^m est négatif, mais je ne vois pas le rapport direct avec mon expression.


Posted by: emdro

Citation:
Posté par Hyp
Par analogie (x-β)^m est négatif


Même lorsque m est pair?

Et si tu connais le signe de la fonction et l'ordre des bornes, tu ne connais pas le signe de l'intégrale?


Posted by: Hyp

Citation:
Posté par emdro
Même lorsque m est pair?


Arf, non c'est dans ce cas positif.

Citation:
Posté par emdro
Et si tu connais le signe de la fonction et l'ordre des bornes, tu ne connais pas le signe de l'intégrale?


Bon en clair, il y'a deux paramètres à vérifier pour avoir le signe du résultat :

Signe de (-1)^m

Signe de (β-α)^n+m+1, qui est positif quelque soient m et n.

Ce n'est pas correct ?


Posted by: emdro

Voilà!

Donc (-1)^m* (β-α)^n+m+1 * (m!n!) / (n+m+1)! est la bonne réponse.


Je ne parviens pas à comprendre pourquoi quand tu avais
I(n,m) = (-1)^k * [m*(m-1)*..*(m+1-k) / (n+1)*..*(n+k)] * I(n+k, m-k),
tu n'as pas dit
I(n,m) = (-1)^m* [m*(m-1)*..*(1) / (n+1)*..*(n+m)] * I(n+m, 0)?
Cela aurait donné immédiatement la bonne réponse.


Posted by: Hyp

Citation:
Posté par emdro
Je ne parviens pas à comprendre pourquoi quand tu avais
I(n,m) = (-1)^k * [m*(m-1)*..*(m+1-k) / (n+1)*..*(n+k)] * I(n+k, m-k),
tu n'as pas dit
I(n,m) = (-1)^m* [m*(m-1)*..*(1) / (n+1)*..*(n+m)] * I(n+m, 0)?
Cela aurait donné immédiatement la bonne réponse.


J'avais sous entendu (-1)^m pour ±, c'était juste pour alléger l'expression déjà bien enflée !

Merci à toi emdro, j'apprécie


Posted by: emdro

Citation:
Posté par Hyp

Merci à toi emdro, j'apprécie


Je t'en prie!










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