Calcul intégral

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Posted by: mehdi-128

Calcul intégral par la méthode des résidus

Rebonjour,je rebloque sur une autre intégrale ,ca serait sympa de me reaider:


\displaystyle W=\int_{0}^{\infty}\frac{(x^2-a)sin(x)}{x(x^2+a)}dx

Voila je vois pas comment partir ....


Posted by: trust

essaie avec ça
\large W = \frac 12 Im(\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac {(z^2-a)e^{iz}dz}{z(z^2+a)}}) = \frac 12 Im( 2i\pi (res(\frac {(z^2-a)e^{iz}}{z(z^2+a)},0)+res(\frac {(z^2-a)e^{iz}}{z(z^2+a)},ia))) si a > 0
sinon
\large W = \frac 12 Im(\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac {(z^2-a)e^{iz}dz}{z(z^2+a)}}) = \frac 12 Im( 2i\pi (res(\frac {(z^2-a)e^{iz}}{z(z^2+a)},0)+res(\frac {(z^2-a)e^{iz}}{z(z^2+a)},-ia))) si a < 0

je te laisse pour le cas a = 0


Posted by: mehdi-128

Citation:
Posté par trust
essaie avec ça
\large W = \frac 12 Im(\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac {(z^2-a)e^{iz}dz}{z(z^2+a)}}) = \frac 12 Im( 2i\pi (res(\frac {(z^2-a)e^{iz}}{z(z^2+a)},0)+res(\frac {(z^2-a)e^{iz}}{z(z^2+a)},ia))) si a > 0
sinon
\large W = \frac 12 Im(\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac {(z^2-a)e^{iz}dz}{z(z^2+a)}}) = \frac 12 Im( 2i\pi (res(\frac {(z^2-a)e^{iz}}{z(z^2+a)},0)+res(\frac {(z^2-a)e^{iz}}{z(z^2+a)},-ia))) si a < 0

je te laisse pour le cas a = 0



Merci,mais il y a un truc que j'ai pas compris:

Quel est le chemin selon lequel on intègre ?

Et on ne connait pas l'indice de 0, ia et -ia ...


Posted by: trust

Citation:
Posté par mehdi-128
Merci,mais il y a un truc que j'ai pas compris:
z^2+a=0 <=> z= ia ou z=-ia
et ca ne dépend pas du signe de a ?!


oui, le théorème des résidus dit qu'il ne faut prendre que les nombres à parties imaginaires positives

Citation:
Et on ne connait pas l'indice de 0, ia et -ia


On n'en a pas trop besoin je crois ici...


Posted by: trust

Citation:
Posté par mehdi-128
Quel est le chemin selon lequel on intègre ?


]-\infty,+\infty[


Posted by: mehdi-128

Citation:
Posté par trust
oui, le théorème des résidus dit qu'il ne faut prendre que les nombres à parties imaginaires positives



On n'en a pas trop besoin je crois ici...



Euh j'ai pas capté la :le théorème des résidus dit que :

I=2iPi.Somme des résidus aux poles .Somme des Indices aux poles

donc comment faire sans connaitre les indices ,et comment connaitre les indices sans connaitre le chemin ?


Posted by: trust

je te conseille ce livre ==> http://www-irma.u-strasbg.fr/~maudin/analysecomp.pdf <== en analyse complexe on s'est basé là dessus en cours


Posted by: mehdi-128

Citation:
Posté par trust
je te conseille ce livre ==> http://www-irma.u-strasbg.fr/~maudin/analysecomp.pdf <== en analyse complexe on s'est basé là dessus en cours


Merci mais j'ai toujours un peu de mal c'est quand qu'on ne met pas les indices dans le théorème des résidus ?


Posted by: trust

retourne le livre que jt'ai passé, p. 88 - 89


Posted by: mehdi-128

Citation:
Posté par trust
retourne le livre que jt'ai passé, p. 88 - 89


Ah j'ai enfin trouvé ,merci beaucoup ....


Posted by: mehdi-128

Je trouve :


W=\frac{\pi exp{-a}(1+a)}{3a-1}


Posted by: trust

dans quel cas?


Posted by: mehdi-128

Citation:
Posté par trust
dans quel cas?


pour a > 0 j'ai trouvé ce résultat ....

Une petite question en passant:dans le théorème on dit que Im(pole)>0 mais la partie imaginaire de 0=0 n'est pas strictement sup a 0?!


Posted by: trust

cool oui c'est ça normalement...


Posted by: mehdi-128

Citation:
Posté par trust
cool oui c'est ça normalement...



Une petite question en passant:dans le théorème on dit que Im(pole)>0 mais la partie imaginaire de 0=0 n'est pas strictement sup a 0?!


Posted by: petitrenard

Citation:
Posté par trust
cool oui c'est ça normalement...


vrai pour a>0


Posted by: mehdi-128

Citation:
Posté par petitrenard
vrai pour a>0


Oui mais y a un truc qui me tracasse:le théorème utilisé stipule que :

im(pole)>0 or 0 est pole donc n'y at-il pas un pb ?


Posted by: trust

c'est Im(pole) \geq 0.


Posted by: mehdi-128

Citation:
Posté par trust
c'est Im(pole) \geq 0.



Ah ouf merci j'ai eu peur ...


Posted by: Pythales

Moi je touuve W=\frac{\pi}{2}(2e^{-\sqrt{a}}-1)
ce qui n'est pas idiot a priori, car si a\to\infty ou si a\to 0 on retrouve la valeur de \int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx










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