Calcul intégral par la méthode des résidus

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Posted by: mehdi-128

Bonjour,je bloque sur le calcul de cette intégrale:

\displaystyle W=\int_{0}^{\pi}\frac{\cos(n t)}{1-2a\cos(t)+a^2} dt ou : /a/ différent de 1 ....

Et on me dit:indication:

On pourra calculer le long du cercle unité:

\frac{z^n}{(z-a)(z-\frac{1}{a})

Et déja je vois pas trop comment faire pour l'indication.....

merci d'avance ....


Posted by: trust

\large W = \frac12 \int_{C(0,1)}(blablabla //avec chgt de var en complexe\large) \frac {dz}{iz} = 2i\pi res(blablabla,pole)


Posted by: mehdi-128

Citation:
Posté par trust
\large W = \frac12 \int_{C(0,1)}(blablabla //avec chgt de var en complexe\large) \frac {dz}{iz} = 2i\pi res(blablabla,pole)


Franchement j'ai rien compris a ce que tu m'as mis


Posted by: mehdi-128

J'ai remarqué que:

(a-exp(it))(a-exp(-it))=a^2-2a\cos(t)+1

donc :

\displaystyle W=\int_{0}^{\pi}\frac{z^n+\frac{1}{z^n}}{2iz(a-z)(a-\frac{1}{z})} dz


en effectuant le changement de variable:

z=exp(it)

Et la je bloque .....


Posted by: trust

bah applique le théorème des résidus dans les calculs d'intégral, cherche le pôle de la fonction méromorphe où la partie imaginaire est positive, calcule le résidu en ce point puis applique la formule que je t'ai donnée...
c'est de l'analyse complexe en fait, un truc chiant mais qui simplifie pas mal de calculs comme ici ==> http://www.maths-forum.com/showthre...1560#post321560 <==


Posted by: mehdi-128

Citation:
Posté par trust
bah applique le théorème des résidus dans les calculs d'intégral, cherche le pôle de la fonction méromorphe où la partie imaginaire est positive, calcule le résidu en ce point puis applique la formule que je t'ai donnée...
c'est de l'analyse complexe en fait, un truc chiant mais qui simplifie pas mal de calculs comme ici ==> http://www.maths-forum.com/showthre...1560#post321560 <==


Et pourquoi faut-il que la partie imaginaire soit positive ?
J'ai jamais entendu parlé de ça .....
c'est quoi une fonction méromorphe ?


Posted by: mehdi-128

Sinon ,ici j'ai 3 poles: 0,a et 1/a

mais comment calculer le résidu en 0, a et 1/a ?


Posted by: trust

t'as bien suivi des cours d'analyse complexe non? pour pouvoir calculer un intégral par la méthode des résidus?


Posted by: mehdi-128

Citation:
Posté par trust
t'as bien suivi des cours d'analyse complexe non? pour pouvoir calculer un intégral par la méthode des résidus?


oui mais j'avais des cas simples :Res(p/q,z0)=p(z0)/q'(z0)

avec p et q 2 fonctions holomorphes dans un voisinage de z0 tq z0 soit zéro simple de q(z) et p(z0) different de 0....


Posted by: mehdi-128

Et déja ,on sait juste que a n'est pas sur le cercle ,mais on ne sait pas s'il est a l'intérieur ou pas donc comment calculer son indice ?


Posted by: trust

t'as qu'à considérer les 2 cas : si a est dans le cercle, l'indice vaut 1 sinon 0 à l'extérieur...


Posted by: mehdi-128

Citation:
Posté par trust
t'as qu'à considérer les 2 cas : si a est dans le cercle, l'indice vaut 1 sinon 0 à l'extérieur...


Ok donc je le considère a l'intérieur:


J'ai :Res(f,a)=\frac{a^n+a^{-n}}{1-a^2}


Res(f,\frac{1}{a})=\frac{a^n+a^{-n}}{a^2-1}

Je trouve donc: W=0


Posted by: mehdi-128

trust es-tu d'accord avec moi ?


Posted by: trust

mouep, ça a l'air juste quoi que si a est dans le cercle, \frac 1a ne l'est pas et ça me chagrine un peu, donc distingue les 2 cas dans tes solutions.


Posted by: mehdi-128

Citation:
Posté par trust
mouep, ça a l'air juste quoi que si a est dans le cercle, \frac 1a ne l'est pas et ça me chagrine un peu, donc distingue les 2 cas dans tes solutions.


ah oui j'avais oublié ,quel étourdi !!


Posted by: mehdi-128

1er cas: si abs(a)<1 alors abs(1/a)>1

l'indice de a vaut 1 celui de 1/a vaut 0 j'obtiens:

W=\frac{\pi(a^n+a^{-n})}{2(1-a^2)}<br />

Pour le 2eme cas j'obtiens la meme chose avec un signe moins ....[/QUOTE]

Ca semble correct ?


Posted by: trust

détaille un peu pour voir...


Posted by: mehdi-128

Citation:
Posté par trust
détaille un peu pour voir...


D'après le théorème des résidus:

pour le 1er cas: si abs(a)<1 alors abs(1/a)>1

d'ou :Ind(a)=1 et Ind(1/a)=0

d'après le théorème des résidus:

4iW=2ipiRes(f,a)<br />
d'ou:

W=\frac{\pi(a^n+a^{-n})}{2(1-a^2)}<br />


Posted by: trust

d'ou vient ce 4?


Posted by: mehdi-128

Citation:
Posté par trust
d'ou vient ce 4?


cos(t) =exp(it)+exp(-it) / 2

et le 2 issu de int [0..Pi]=1/2 . int[C(0,1)] ....

2*2=4 ....


Posted by: trust

ok, c'est correct ^^


Posted by: mehdi-128

^^ merci pour ta précieuse aise


Posted by: Pythales

Soit I=\int_0^{\pi}\frac{\cos nt}{1-2a\cos t+a^2}dt Je montre d'abord , en posantu=2\pi-t que I=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\frac{\cos nt}{1-2a\cos t+a^2}dt, puis je pose J=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\frac{\sin nt}{1-2a\cos t+a^2}dt et je calcule I+iJ=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\frac{e^{int}}{1-2a\cos t+a^2}dt en posant z=e^{it} soit I+iJ=-\frac{i}{2}\int_c\frac{z^n}{1-a(z+\frac{1}{z})+a^2}\frac{dz}{z}=\frac{i}{2a}\int _c\frac{z^ndz}{(z-a)(z-\frac{1}{a})}
Dés lors, il est facile de voir que :
si a&lt;1 , I=\frac{\pi a^n}{1-a^2}
si a&gt;1 , I=\frac{\pi}{a^n(a^2-1)}


Posted by: mehdi-128

Citation:
Posté par Pythales
Soit I=\int_0^{\pi}\frac{\cos nt}{1-2a\cos t+a^2}dt Je montre d'abord , en posantu=2\pi-t que I=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\frac{\cos nt}{1-2a\cos t+a^2}dt, puis je pose J=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\frac{\sin nt}{1-2a\cos t+a^2}dt et je calcule I+iJ=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\frac{e^{int}}{1-2a\cos t+a^2}dt en posant z=e^{it} soit I+iJ=-\frac{i}{2}\int_c\frac{z^n}{1-a(z+\frac{1}{z})+a^2}\frac{dz}{z}=\frac{i}{2a}\int _c\frac{z^ndz}{(z-a)(z-\frac{1}{a})}
Dés lors, il est facile de voir que :
si a&lt;1 , I=\frac{\pi a^n}{1-a^2}
si a&gt;1 , I=\frac{\pi}{a^n(a^2-1)}



bien vu c'est bizarre avec mon autre méthode j'obtenais pas la meme chose ....
ca ressemble mais bon ...


Posted by: mehdi-128

Citation:
Posté par Pythales
Soit I=\int_0^{\pi}\frac{\cos nt}{1-2a\cos t+a^2}dt Je montre d'abord , en posantu=2\pi-t que I=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\frac{\cos nt}{1-2a\cos t+a^2}dt, puis je pose J=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\frac{\sin nt}{1-2a\cos t+a^2}dt et je calcule I+iJ=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\frac{e^{int}}{1-2a\cos t+a^2}dt en posant z=e^{it} soit I+iJ=-\frac{i}{2}\int_c\frac{z^n}{1-a(z+\frac{1}{z})+a^2}\frac{dz}{z}=\frac{i}{2a}\int _c\frac{z^ndz}{(z-a)(z-\frac{1}{a})}
Dés lors, il est facile de voir que :
si a&lt;1 , I=\frac{\pi a^n}{1-a^2}
si a&gt;1 , I=\frac{\pi}{a^n(a^2-1)}



Il y a une erreur quand tu effectues z=exp(it) je pense pas qu'il y ait de - !


une autre erreur:

z=exp(it) => dz=izdt => dt=dz/ iz et op le i est au denominateur pas au numérateur !


Posted by: yos

\frac1i=-i.
Il n'y a pas d'erreur dans ce qu'a écrit Pythalès.


Posted by: trust

Citation:
Posté par Pythales
en posant z=e^{it}

ah oui, c'était là mon erreur...merci Pythales


Posted by: mehdi-128

Citation:
Posté par trust
ah oui, c'était là mon erreur...merci Pythales



C'était quoi ton erreur ,je vois pas trop ?


Posted by: trust

j'ai pris la partie réelle de cos nt au lieu de prendre la partie réelle de e^{nit}










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