calcul différentiel

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Posted by: minidiane

Bonsoir, je n'arrive pas à faire une question d'un exercice, la voici:
Déterminer la courbe \alpha: \R\longrightarrow\R^3, de classe C^\infty, paramétrée par l'abcisse curviligne dont les fonctions courbures ro et torsion to sont données par:
ro(s)=\frac{\sqrt{3}}{2(1+s^2)} et to(s)=\frac{-1}{2(1+s^2)}et dont le repère de Frénet en s=0 est déterminé par \alpha(0)=(1,1,1), T(0)=(1,0,0), N(0)=(0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}).
Voilà je ne vois pas comment je dois procéder :?


Posted by: minidiane

J'ai calculé ceci mais je ne vois pas comment m'en servir
\frac{dT}{ds}=\frac{sqrt{3}}{2(1+s^2)}N

\frac{dN}{ds}=\frac{sqrt{3}}{2(1+s^2)}T+\frac{1}{2(1+s^2)}B

<br /> \frac{dB}{ds}=\frac{-1}{2(1+s^2)}N

Mais après je ne vois pas ce que je dois faire


Posted by: busard_des_roseaux

bonjour,

Je change de notation pour ne pas avoir à taper de lettres grecques,
. Toutes les dérivées sont relatives à l'abscisse curviligne s.

formules de Frenet
\displaystyle \frac{dT}{ds}= r N (1.1)
\displaystyle \frac{dN}{ds}= -r T -t B (1.2)
\displaystyle \frac{dB}{ds}=t N (1.3)

Remarques qui simplifient
\displaystyle r = \sqrt{3}t
\displaystyle \frac{r'}{r}=\frac{t'}{t}
\displaystyle \frac{r'}{r}= - \frac{4rs}{\sqrt{3}} (1.4)

Recherche d'une équa diff
on différentie (1.2):
\displaystyle N^{(2)}= - r' T - r T'-t' B - t^2 N (1.5)
on calcule B dans (1.2) et on remplace dans (1.5)

\displaystyle N^{(2)} - \frac{t'}{t}N' +(r^2+t^2)N=r \left( \frac{t'}{t}- \frac{r'}{r} \right) T=0

Le vecteur N vérifie l'équa diff:
\displaystyle N^{(2)}+ \frac{2s}{1+s^2}N'+\frac{1}{{(1+s^2)}^2}N=0


Posted by: busard_des_roseaux

L'équa diff se fait composantes par composantes, il reste donc à intégrer
l'équation réelle avec y \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} :

\displaystyle y^{(2)}+\frac{2x}{1+x^2}y'+\frac{1}{{(1+x^2)}^2}y= 0


On cherche un facteur intégrant je vais demander au bureau des postes.


Posted by: minidiane

Merci pour ton aide, j'ai malgrès tout quelques questions

Je ne vois pas comment tu trouves:
\displaystyle \frac{r'}{r}=\frac{t'}{t}
\displaystyle \frac{r'}{r}= - \frac{4rs}{\sqrt{3}} (1.4)
Je ne vois pas non plus comment on trouve B à partir de (1.2)


Posted by: busard_des_roseaux

Citation:
Posté par minidiane
Merci pour ton aide, j'ai malgrès tout quelques questions
Je ne vois pas comment tu trouves:
\displaystyle \frac{r'}{r}=\frac{t'}{t}


C'est la dérivée logarithmique de r=sqrt{3}t

Citation:
Posté par minidiane
\displaystyle \frac{r'}{r}= - \frac{4rs}{\sqrt{3}} (1.4)

par le calcul.

Citation:
Posté par minidiane
Je ne vois pas non plus comment on trouve B à partir de (1.2)

C'est une combinaison linéaire entre vecteurs. On isole B.


Posted by: minidiane

Citation:
Posté par busard_des_roseaux
C'est la dérivée logarithmique de r=sqrt{3}t


C'est la dérivée par rapport à t ou à s? Je comprend pas très bien

Citation:
Posté par busard_des_roseaux
C'est une combinaison linéaire entre vecteurs. On isole B.


ok mais on a aussi N' et N'' que l'on remplace je suppose mais cela nous rajoute des T aussi.


Posted by: busard_des_roseaux

Citation:
Posté par minidiane
C'est la dérivée par rapport à t ou à s? Je comprend pas très bien



c'est indiqué dans le post n°3.

t est la torsion,on ne dérive jamais par rapport à la torsion.


Posted by: minidiane

ok je me suis un peu embrouiller avec les t, r et s
Par contre pour B je ne vois toujours pas comment procéder










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