Calcul differentiel !

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Posted by: barbu23

Bonjour :
C'est quoi la differentielle de la fonction suivante :
$\ \Psi \hspace{20cm} : \hspace{20cm} C^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R}) \hspace{20cm} \longrightarrow \hspace{20cm} \mathbb{R} $
$\ \hspace{100cm} f \hspace{10cm} \longrightarrow \hspace{20cm} x $
Merci d'avance !!


Posted by: barbu23

On fait une decomposition , n'est ce pas ?


Posted by: barbu23

$\ \Psi \hspace{20cm} : \hspace{20cm} C^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R}) \hspace{20cm} \longrightarrow \hspace{20cm} C^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R}) \hspace{20cm} \longrightarrow \hspace{20cm} \mathbb{R} $
$\ \hspace{100cm} f \hspace{10cm} \longrightarrow \hspace{20cm} 1_{\mathbb{R}} \hspace{20cm} \longrightarrow \hspace{20cm} x $


Posted by: kazeriahm

salut

ta fonction est constante ?! quel interet ?! sauf si je comprends mal ton énoncé ?

qui est x ? un élément fixé de R ?


Posted by: barbu23

la differentielle est $\ 0 $ tout simplement !
Parceque : $\ \Psi (f+h) - \Psi(f) = x - x = 0 $, c'est ça ?
Donc : $\ D \Psi (f) = 0 $ mais $\ 0 $ ici c'est un scalaire et pas une fonction, c'est pourquoi, j'ai pensé à une decomposition !! mais est ce que vous pouvez m'aider pour la suite !?
Merci d'avance !!


Posted by: barbu23

svp, est ce que vous pouvez m'aider ! merci d'avance !


Posted by: barbu23

Help pls !


Posted by: Joker62

On veut bien mais comme on te l'as déjà demandé
C'est quoi x ???
C'est la fonction h : x -> x
C'est fixé dans R ?
C'est une carotte ?
Un radis ou bien :p ?


Posted by: barbu23

Salut "Joker" :
Voiçi le problème dans sa globalité :
Soit $\ I = [a,b] $ un intervalle compact de $\ \mathbb{R} $ et $\ E $ l'espace des fonctions $\ f : I \longrightarrow \mathbb{R} $ de classe $\ \mathcal{C}^{1} $, muni de la norme :
$\ ||f|| = \max_{x \in I} |f(x)| + \max_{x \in I} |f'(x)| $.
On considère une fonction $\ \varphi : \mathbb{R^{3}} \longrightarrow \mathbb{R} $ de classe $\ \mathcal{C}^{1} $ et on pose pour tout $\ f \in E $:
$\ \Psi (f) = \int_{a}^{b} \varphi (x,f(x),f'(x)).dx $.
Montrer que $\ \Psi $ est differentiable et calculer sa differentielle.
Alors, pour resoudre cet exo, il faut passer par la décomposition et il y'a beaucoup de decomposition à faire !! et parmi ces decompositions, il y'a une qui associe $\ f $ à $\ x $. et là je vois pas comment faire !
Merci d'avance de votre aide !!


Posted by: barbu23

Bonjour "tize" :
Est ce que tu as une idée sur la manière de resoudre ce problème ! je sais que c'est par decomposition ! mais je tombe sur le problème cité plus haut !
Merci d'avance !


Posted by: tize

Salut Barbu,
\phi(f+h)=\int_{a}^{b}\varphi\(x,f(x)+h(x),f'(x)+h '(x)\)dx=\int_a^b\(\varphi\(x,f(x),f'(x)\)+ D\varphi_{(x,f(x),f'(x))}\(0,h(x),h'(x)\)+o\(||(0, h(x),h'(x))||\)\)dx
Donc :
\phi(f+h)=\phi(f)\\+\int_a^bD\varphi_{(x,f(x),f'(x ))}\(0,h(x),h'(x)\)dx\;qui\;est\;lineaire\;en\;h\\ +\int_a^bo\(||(0,h(x),h'(x))||\)\)dx\;qui\;est\;un \;o\(||h||_E\)
Reste à montrer que l'application linéaire est continue, pas très difficile...


Posted by: barbu23

Oui, mais tu sais faire ça avec la methode de decomposition ? c'est surtout ça ce que j'arrrive pas à faire !!
Ton idée est tellement sympas ! je vais l'essayer !
Merci infiniment !!


Posted by: barbu23

svp aidez moi !


Posted by: barbu23

aidez moi svp ! j'arrive pas trouver la decomposition !


Posted by: barbu23

Help pls !










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