Bonjour à tous, je bloque complètement sur le calcul de ce determinant, j'ai
tout essayé: combinaisons sur les lignes et colonnes, recherche de relation de
recurence...mais niet!!
Voici la "bête":
Nb: Les petits points horizontaux signifient une suite de nombres allant jusqu'à
n. 1.....n signifie 1 2 3 4 jusqu'à n
Les petits points verticuax signifient que les nombres sont identiques.
--
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Le 11 Feb 2004 18:34:48 GMT, zaratoustra <toto@easynet.fr> a écrit :
>
>Bonjour à tous, je bloque complètement sur le calcul de ce determinant, j'ai
>tout essayé: combinaisons sur les lignes et colonnes, recherche de relation de
>recurence...mais niet!!
>Voici la "bête":
>
>M= 0 2 3........n
> 1 0 3........n
> 1 2 0 4......n
> . .
> . .
> . n
> 1 2..........0
>
>
>Merci de votre aide!!!
Je n'ai pas reflechi plus que ca mais une remarque vient a l'esprit :
ce determinant est un multiple entier de n!. En effet, tu peux sortir
un facteur k de la k-ieme colonne pour k=1,...,n et ton determinant
vaut alors n! multiplie par le determinant de la matrice S_n dont
les coefficients valent tous 1 sauf ceux sur la diagonale, qui valent
0.
Et quelques essais montrent det(S_n) vaut apparemment (-1)^n * (n-1).
Donc le determinant initial vaut probablement (-1)^n * (n-1) * n!.
A prouver !
Tu sors du n!, et après t'as une matrice circulante (pour calculer son
déterminant de façon systématique faut se ramener à un déterminant de
Vandermonde en multipliant par une matrice contenant les racines nième de
l'unité disposées correctement (google is your friend)).
Posted by: tabegam
Le Sat, 14 Feb 2004 01:31:05 +0100, tabegam <tabegam@nawadoo.frr> a
écrit :
>Le 11 Feb 2004 18:34:48 GMT, zaratoustra <toto@easynet.fr> a écrit :
>
>>
>>Bonjour à tous, je bloque complètement sur le calcul de ce determinant, j'ai
>>tout essayé: combinaisons sur les lignes et colonnes, recherche de relation de
>>recurence...mais niet!!
>>Voici la "bête":
>>
>>M= 0 2 3........n
>> 1 0 3........n
>> 1 2 0 4......n
>> . .
>> . .
>> . n
>> 1 2..........0
>>
>>
>>Merci de votre aide!!!
>
>Je n'ai pas reflechi plus que ca mais une remarque vient a l'esprit :
>ce determinant est un multiple entier de n!. En effet, tu peux sortir
>un facteur k de la k-ieme colonne pour k=1,...,n et ton determinant
>vaut alors n! multiplie par le determinant de la matrice S_n dont
>les coefficients valent tous 1 sauf ceux sur la diagonale, qui valent
>0.
>
>Et quelques essais montrent det(S_n) vaut apparemment (-1)^n * (n-1).
>Donc le determinant initial vaut probablement (-1)^n * (n-1) * n!.
>A prouver !
J'ai aussi l'impression que cette matrice S_n verifie
S_n^2=(n-2) S_n +(n-1) I_n
avec I_n la matrice identite. Avec ca, il doit y avoir moyen de
calculer det(S_n).