Sommes des puissances

[Claudius]

Bonjour à tous,

Une question me tourmente depuis quelques jours. Comme je manque de culture mathématique, je viens ici m'adresser aux amateurs cultivés. dont les lanternes pourront, je l'espère, m'éclairer.

Si l'on se donne p nombres, alors on peut déterminer la somme Sn de leurs n-ièmes puissances pour tout n>=0.

Inversement, on peut voir chaque somme de puissances comme une équation à p variables que sont les p nombres. La question est donc : si l'on se donne une suite Sn, à quelle condition existe-il p nombres dont les Sn sont les sommes de leur n-ième puissances ?

Ce qui m'interpelle, c'est que l'on pose de cette façon un système d'équations certes dénombrable, mais infini (n>=0) avec un nombre fini (p) d'inconnues. A quelle condition donc un tel système, a priori surcontraint, admet-il une solution ?

Si ces p nombres existent, comment peut-on les déterminer en fonction des Sn ?

Bien entendu, en se limitant aux p premières puissances, on obtient un système de p équations à p inconnues. On peut alors utiliser les identités de Girard-Waring-Newton pour exprimer les coefficients d'un polynôme dont les p nombres sont ses racines. C'est un pis-aller qui ne donne pas explicitement les p nombres en fonction des Sn. Et quid des autres puissances ?

Voilà ce qui, avec la canicule récente, m'a empêché de dormir ces dernières nuits. J'imagine que c'est un problème connu dans la littérature mathématique. En vous remerciant d'avance pour votre contribution.

[nodgim]

Si j'ai bien compris la question, avec par exemple n = 1 (allons au plus simple) p = 3 et S1 = 10, on veut trouver tous les triplets (a,b,c) tels que a + b + c = 10 ?

[Claudius]

Oui pour la première équation du système. La deuxième équation sera la somme des carrés de a,b,c égale à S2, la troisième équation sera la somme des cubes de a,b,c égale à S3, et ainsi de suite.

[Doraki]

Algébriquement, je vois pas trop ce que tu veux faire de mieux que de trouver le polynôme dont les p nombres sont les racines. Tu ce dont tu disposes c'est des quantités symmétriques en ces p nombres, donc tu vas devoir briser ces symmétries à un moment, ce qui revient à résoudre un polynôme générique de degré p de toutes façons.

Numériquement, tu pourrais avoir une approximation du plus grand nombre en regardant la racine 1000000ème de S(1000000), si tu sais que les nombres en questions sont des entiers positifs, ça devrait être possible de les retrouver.

[Claudius]

Bonjour,

Oui c'est ce que j'expliquais. On peut déterminer un polynôme dont ces nombres sont racines en évaluant les fonctions symétriques élémentaires à l'aide des sommes de puissances Sn via les polynômes complets de Bell.

Effectivement les nombres en question sont des entiers. Si vous avez des pistes pour les expliciter en fonction des Sn, je suis preneur.

[Razes]

Bonsoir Claudius,

Car pour quelqu'un qui manque de culture mathématique, tu t'es attaqué à un sujet assez corsé.

Sérieusement, pourrais tu me dire quel est ton niveau?

[Claudius]

J'ai fait des maths à l'école il y a 25 ans à Toulouse, quand j'étudiais les avions de près. J'ai quelques restes . Mais je n'ai pas pratiqué depuis. A défaut de résoudre explicitement, peut-on donner un comportement asymptotique de ces nombres ?

[Razes]

C e sujet me parait comme un sujet de recherche. Trouver une forme explicite de la solution serait génial mais là tu as un système non linéaire, c'est pourquoi cela m'a semblé bizarre que tu te réveille un jour et que tu t'attaque à un si gros morceau.

Nous avons donc un système de équations non linéaire à inconnues, quand on pose le système, on a :


Ce système peut s'écrire aussi de la façon suivante:


Avec: et

Nous obtenons une matrice du style Matrice de Vandermonde (A voir) dépendante de l'inconnu . A ma connaissance la résolution se fait par des méthodes de calcul numérique. A partir d'un , nous procédons au calcul de , jusqu'à convergence de la solution. Le choix de la méthode précise est en principe un travail de recherche.

J'espère que ceci a pu éclairer ta lanterne et que des idées vont germer.

[Claudius]

J'avais envisagé cette écriture qui permet d'écrire ce sytème sous la forme X=W(X).S, où W(X) est l'inverse de la matrice V(X), pour autant que V soit inversible c'est-à-dire que toutes les inconnues soient distinctes. Mais à la réflexion, il n'y a pas besoin forcément d'inverser pour trouver numériquement une solution. Je vais explorer ça. Merci pour la suggestion.

[Razes]

Qui t'as parlé d’inverser la matrice?

Je parle de calcul numérique et plus particulièrement de méthode itérative pour chercher la solution.

[Claudius]

Faut-il que quelqu'un m'en parle pour que je puisse l'évoquer ici ? L'avant dernière phrase indique l'inutilité d'une telle inversion pour un calcul numérique. Nous parlons donc de la même chose.

[Razes]

As tu envisagé autre chose afin de m'éviter de te proposer des choses auxquelles tu as déjà pensé?

[Claudius]

Vous m'avez suggéré de considérer cette écriture pour un calcul itératif sans inversion de la matrice de Van der Monde. J'avais considéré cette écriture, mais pas la méthode de résolution que vous avez proposée. Vous m'avez donc proposé quelque chose à laquelle je n'avais pas pensé. Je vous réitère mes remerciements.

Mais à part ça, je n'avais pas d'autres idées, à part celle que j'ai indiquée en début de discussion de calculer les coefficients d'un polynôme dont ces nombres sont racines.

[Razes]

C'est avec plaisir. Si tu cherche une collaboration en calcul numérique en privé, ça sera avec plaisir.

Il y a beaucoup de méthode de résolution, tu en trouvera sur le net, parmi lesquelles, Méthode de Jacobi,
Méthode de Gauss-Seidel, Méthode de surrelaxation , ..., le choix est généralement motivé par par la vitesse de convergence donc du temps de calcul.

Bon courage.