Paradoxe de Simpson (2e partie)

[Rhambo]

Paradoxe de Simpson

Dans une classe de 31 élèves, on propose un examen de fin d'année en maths, avec 2 sujets au choix : le sujet A et le sujet B.

Voici les résultats de réussite en fonction des sujets A et B et du sexe des candidats :

Simpson-min.jpg (24 Kio) Vu 1643 fois

Il est clair que les filles ont bien mieux réussi que les garçons.

Mais est-ce le sujet A ou le sujet B qui a été le mieux réussi ?

Première question
Vous êtes un(e) de ces candidat pris au hasard (fille ou garçon, on ne sait pas).
Faut-il mieux avoir choisi le sujet A ou le sujet B ?

Deuxième question
Vous êtes un garçon.
Faut-il mieux avoir choisi le sujet A ou le sujet B ?

Troisième question
Vous êtes une fille.
Faut-il mieux avoir choisi le sujet A ou le sujet B ?

Quatrième question : conclusion
Alors, finalement, faut-il mieux avoir choisi le sujet A ou le sujet B ?

[Rhambo]

Je sais que le paradoxe de Simpson se produit lorsqu'il y a un facteur de confusion, autrement dit, dans le cas qui nous occupe, une corrélation entre le sexe d'un candidat et le choix du sujet, A ou B.

Cependant, j'ai construit mon exemple complètement artificiellement, à partir de ce graphique que j'ai réalisé sous Cabri :

Simpson vecteurs.png (45.24 Kio) Vu 1638 fois

En gros, dans cet exemple, j'ai trouvé des fractions telles que :
mais :

Ici :
mais : puisque de façon triviale :

Donc bien malin celui qui pourrait imaginer un facteur de confusion rationnel qui expliquerait le paradoxe.

Car mon découpage garçons/filles est totalement arbitraire (j'ai inventé mon exemple), et j'aurais peut-être pu trouver un autre découpage qui rend le sujet A plus favorable aux candidats des deux sous groupes.

Par exemple : ceux dont le nom de famille commence par une lettre dans la première moitié de l'alphabet [de A à M], et ceux dont l'initiale du nom est dans la deuxième moitié de l'alphabet [de N à Z], ou n'importe quel autre découpage de la classe en deux sous-groupe judicieusement choisis.

Ma question est donc :
"Un tel découpage (qui rend le sujet A plus favorable aux candidats des deux sous-groupes) est-il possible ? "
et si oui, donnez-moi un exemple (qui respecte mes données : 31 candidats, 15 sujets A choisis dont 7 qui le réussissent, 16 sujets B choisis dont 7 qui le réussissent).

[Rhambo]

Désolé, je me suis encore un peu trompé, ce post aurait dû faire partie du forum "Salon Mathématiques", et pas "Collège et Primaire", mais je ne sais pas déplacer un sujet...

[zygomatique]

salut

je pense que pour avoir différentes variantes l'utilisation d'un tableur te permettrait de voir et faire varier les différents effectifs des filles/garçons et des réussite/non réussite ....

ou de fixer certains paramètres et de constater ce qui se passe ....

ainsi par exemple ici tu as presque autant de filles que de garçons mais si tu as une proportion 1/3 2/3 par exemple que se passe-t-il ....

[beagle]

"Donc bien malin celui qui pourrait imaginer un facteur de confusion rationnel qui expliquerait le paradoxe."

je n'ai pas compris ta démarche.
tu pars de données objectives = des rapports de fraction qui font que somme des numérateurs sur somme des dénominateurs inverse les inégalités de fraction

sur ces rapports de fraction tu plaques un exemple possible fille garçon réussite ou non à un examen. Ce truc là est inventé, donc comment il pourrait y avoir un facteur de confusion rationnel?

pas bien compris ton interrogation

[Rhambo]

Je suis bien d'accord avec toi, Beagle : j'ai effectivement inventé ma situation (mais elle pourrait néanmoins être un vrai résultat, je veux dire un résultat qui correspondrait à une vraie mise en situation).

C'est bien pour ça que je dis qu'il ne peut pas y avoir de facteur de confusion ("bien malin celui qui...") puisqu'un facteur de confusion serait une explication causale dans une situation bien réelle.

Mais alors du coup, dans mon cas de figure, peut-on répondre à la question :
"Lequel des deux sujet A ou B a-t-il été le mieux réussi ? "
Se peut-il qu'en raison du paradoxe de Simpson, il n'y ait pas de réponse à cette question ?

Simpson avec p.png (70.25 Kio) Vu 1581 fois

Si on ne considère pas le sexe des élèves, c'est le sujet A qui a été le mieux réussi, mais en revanche, aussi bien les garçons que les filles ont mieux réussi le sujet B. Je n'arrive pas à décider quelle est la bonne réponse.

Ça bouleverserait alors un peu mes convictions de matheux, car d'une manière générale, j'ai l'intuition que deux grandeurs mesurables de même nature sont comparables...

[beagle]

Bah c'est le sujet A qui est le mieux réussi,
alors que B est mieux réussi par les deux groupes,
c'est ça qui est super.Le principe d'un paradoxe c'est de te filer le vertige.

Mais prends des nombres plus simples,
admettons un groupe qui aurait 1/1 de réussite, tu le compares à (n-1)/n il est gagnant ce groupe de 1/1,
pourtant (n-1)/n c'est du costaud (et n-1 en réussite en nombre absolu versus 1 ça fait réver !)
Alors en regard de cela tu compares du 1/2 avec du (n-k)/(n+1):

(n-1)/n ........... 1/1
1/2...................(n-k)/(n+1)
-----------------------------
n/(n+2) .......(n-k+1)/(n+2)

c'est assez fastoche de faire mieux que 1/2 avec du (n-k)/(n+1)
et on voit bien au final que c'est n qui sera sup à (n-k+1)

On n'additionne pas des fractions de même dénominateur, l'addition de fractions de dénominateur différent c'est champion pour dire à l'avance plus grand ou plus petit, ça se joue des fois à rien du tout ...

[zygomatique]

peut-être pour éclairer la situation on peut regarder des "probabilités conditionnelles"

un élève a réussi ; quelle est la probabilité que ce soit une fille ? un garçon ?

un élève a réussi ; quelle est la probabilité qu'il ai réussi le sujet A?

1 F (1 G) a réussi ; quelle est la probabilité qu'elle (qu'il) ait réussi le sujet A ?

....

[Pseuda]

Je n'arrive pas à décider quelle est la bonne réponse.

Ça bouleverserait alors un peu mes convictions de matheux, car d'une manière générale, j'ai l'intuition que deux grandeurs mesurables de même nature sont comparables...

Bonsoir,

Les garçons et les filles individuellement ont mieux réussi le sujet B. Mais comme les filles ont choisi le sujet A dans une proportion plus grande (8/15), que les garçons (6/16), et qu'elles ont mieux réussi dans l'ensemble que les garçons, le sujet A a été globalement mieux réussi que le sujet B.

Pour moi, il n'y a pas de paradoxe. Tout dépend du contexte (en terme de probabilités, de l'univers) dans lequel on se trouve : la probabilité de réussir le sujet A (dans l'univers garçons + filles) est différente de la probabilité de réussir le sujet sachant que l'on est une fille... ou que l'on est un garçon... (probabilité conditionnelle).

[Rhambo]

c'est ça qui est super.Le principe d'un paradoxe c'est de te filer le vertige.

Bah, ok, mais autant les paradoxes style menteur ou Achille, je m'étais habitué depuis tout petit (ça me semble même plus très intéressant). Mais découvrir à 45 balais qu'avec des toutes bêtes fractions de niveau 5e, je peux être tout chamboulé dans mes croyances, ça craint !

Par contre ça me donne des idées pour illustrer mon cours sur les fractions, mais je sais pas si je dois : les élèves ont déjà assez de "facteurs de confusion" dans leur tête pour leur en rajouter encore... est-ce que c'est très prudent ?!!!

Pour ton exemple avec les (n-k)/n+1, j'avoue que je n'ai rien compris, je verrai ça à tête reposée avec un papier et un crayon (t'as l'air de suggérer qu'avec n'importe quel groupe, on peut toujours le subdiviser en sous groupes pour tomber dans le paradoxe de Simpson, mais j'ai pas vraiment saisi la logique - je ne suis qu'un petit prof de maths de rien du tout, héhéhé ).

[beagle]

J'ai juste choisi des exemples assez faciles et extrêmes vu que perso je suis aussi très limité:
1/1 je suis assez à l'aise à comparer à du (n-1)/n j'arrive à suivre c'est plus petit en % de réussite, mais en effectif de réussite cela fait facilement pencher dans la balance on aura du (n-1) effectif versus un pauvre 1,
construire une seconde ligne avec ça c'est du gateau (normal pour les fractions),
j'ai mis du 1/2 pour pas trop faire monter les effectifs mais dans cette case j'aurai pu mettre du 1/3 du 1/4, toutes choses faciles à battre en fraction de l'autre coté ...

[Pseuda]

Par contre ça me donne des idées pour illustrer mon cours sur les fractions, mais je sais pas si je dois : les élèves ont déjà assez de "facteurs de confusion" dans leur tête pour leur en rajouter encore... est-ce que c'est très prudent ?!!!

Cela ne me paraît pas très prudent en effet. Ils ont déjà suffisamment de mal à comprendre les fractions ....

[Rhambo]

Ma question ultime, en fin de compte, c'est :

Etant données deux fractions et telles que
peut-on toujours trouver quatre fractions , , ,
avec et
et telles que , , et ?

Ce qui revient à dire (mais je me trompe peut-être dans mes équivalences) :

Etant donné un groupe dont on étudie deux caractéristiques Q et q (dont l'une est prédominante, par exemple Q), on peut toujours trouver une subdivision de notre groupe en deux sous-groupes complémentaires pour laquelle c'est la caractéristique q qui l'emporte (dans chacun des deux sous-groupes).

Attention : je me plante peut-être complètement... Je n'ai pas la prétention d'affirmer que ces deux propositions sont vraies ! Je ne suis même pas sûr qu'elles soient équivalentes...

[Pseuda]

Bonjour,

Il me semble que le paradoxe de Simson est habituellement cité quand par exemple, deux catégories différentes d'employés ont un salaire moyen pour chaque catégorie, plus élevé dans une entreprise A que dans une entreprise B, mais que globalement (les deux catégories confondues), leur salaire moyen est plus élevé dans l'entreprise B que dans l'entreprise A.

A mon avis, tu pourrais dans le même registre, à la fois généraliser et simplifier ton problème, en considérant des notes moyennes (plutôt que des taux de réussite, mais cela marche aussi) obtenues aux sujets A et B pour les filles et les garçons.

Par exemple :
x = note moyenne des garçons au sujet A (ici taux de réussite 1/7)
y = note moyenne des filles au sujet A (ici 6/8)
z = note moyenne des garçons au sujet B (ici 2/10)
t = note moyenne des filles au sujet B (ici 5/6)

On a : 0 x z, et 0 y t et on cherche une proportion p (ici 7/15 : proportion de garçons parmi les élèves qui ont choisi le sujet A) et q (ici 10/16 : B) telle que p*x + (1-p)*y q*z + (1-q) * t.
On obtient ici : 7/157/16.

Le problème est comment doivent être x, y , z et t, pour qu'il existe p et q qui vérifient la dernière inéquation.

Tu peux maintenant remplacer toutes ces lettres par des fractions, mais à mon avis cela complique inutilement.

[Rhambo]

Oui, en évitant les fractions, ça réduit déjà par deux le nombre de variables, et donc d'inconnues
Je me penche sur le problème dès que j'ai fini mes paquets de copies (heureusement qu'en vrai, je n'ai pas fait deux sujets A et B pour mon interro !!! )

[Pseuda]

Bonsoir,

En fait je me rends compte que ton problème est inverse : tu connais 2 nombres u et v avec u v 0, et tu te demandes s'il existe 4 nombres x, y, z, t 0, et 2 proportions p et q [0 ; 1] tels que 0 x z, et 0 y t , et u=p*x + (1-p)*y , v=q*z + (1-q)*t.

Sauf que là, il faut rajouter comme contrainte supplémentaire pour ton problème, que x, y, z, t, p et q soient des rationnels.

Bon courage !

[nodgim]

La contrainte la plus forte me semble être celle ci :
a/b < (a+1)/(b+1) pour a < b
Dans ce cas, on peut faire :
a / b = 3 / 1 + (a-3) / (b-1)
(a+1) / (b+1) = 5 / 2 + (a-4) / (b-1)
Il faut alors juste que a >= 5 et b >= 6.

[Pseuda]

Ma question ultime, en fin de compte, c'est :

Etant données deux fractions et telles que
peut-on toujours trouver quatre fractions , , ,
avec et
et telles que , , et ?

Bonsoir,

Etant donné que pour tous a, b, c et d positifs : => , une condition nécessaire à la vérification du système ci-dessus est : (et par symétrie ) .

Si toutes les fractions sont < à 1, cette condition nécessaire paraît suffisante ().

[Robot]

L'utilisation des fractions cache peut-être un peu le phénomène très simple :

On peut avoir et , et en même temps une moyenne pondérée strictement plus grande que (avec).

Il faut et il suffit que ou pour qu'on puisse fabriquer une moyenne pondérée de et plus grande qu'une moyenne pondérée de et (les poids ne sont bien entendu pas les mêmes dans les deux cas).

[Pseuda]

Bonsoir,

Un (bon) résumé de la situation concernant le paradoxe de Simpson :

http://www.lifl.fr/~jdelahay/pls/236.pdf