Cadeau du père Nöel

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Posted by: darkmaster

Voici un petit cadeau du père Nöel:
Soit une fonction f:R \rightarrow R tel que f(cot(x))=cos(2x)+sin(2x) pour tous 0<x<2\pi.
On définit g(x)=f(x)f(1-x) avec -1 \leq x \leq 1.
Déterminer les valeurs max et min de g sur [-1,1].
Joyeux Nöel!


Posted by: khaclong

Citation:
Posté par darkmaster
Voici un petit cadeau du père Nöel:
Soit une fonction f:R \rightarrow R tel que f(cot(x))=cos(2x)+sin(2x) pour tous 0<x<2\pi.
On définit g(x)=f(x)f(1-x) avec -1 \leq x \leq 1.
Déterminer les valeurs max et min de g sur [-1,1].
Joyeux Nöel!

j'ai trouvé une solution pour ce problème
f(\cot x)= \cos 2x +\sin 2x =\frac{\cot^2 x-1}{cot^2 x+1}+\frac{2\cot x}{\cot^2 x+1}
Alors,on a
f(x)=\frac{x^2+2x-1}{x^2+1} ,x\in\Re
et on prend y=1-x,on aura
f(y)=\frac{y^2+2y-1}{y^2+1}
Donc,
g(x)=f(x)f(y)=\frac{x^2+2x-1}{x^2+1}. \frac{y^2+2y-1}{y^2+1}
on utilise x+y=1 et xy=u;on aura
g(x)=\frac{(xy)^2+8xy-2}{(xy)^2-2xy+2}=\frac{u^2+8u-2}{u^2-2u+2}
on a
u=xy=x(1-x)
Avec x\in[-1;1] ,on aura u\in[-2;\frac14]
on étudie g(x)=h(u) avec u\in[-2;\frac14]
on trouvera max et min de h(u)


Posted by: darkmaster

Je suis ok, je crois que c'est la méthode la plus courte du problème. La clé est exprimer l'expression en fonction de (xy).
Enfin le papa Nöel est heureux










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