Borne inf

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: Rain'

http://img132.imageshack.us/img132/3527/mathsan0.jpg


Posted by: fahr451

je pense racine (2 )/2


Posted by: BiZi

Je ne comprends pas ce genre d'exo: quel sens peut-on donner à sup(sin(p alpha)), puisque alpha n'est pas déterminé? Comment doit-on aborder ce genre d'exercice?
Merci d'éclairer ma lanterne!


Posted by: fahr451

racine(3)/2 plutôt
sauf erreur
si alpha et pi sont incommensurables (id est alpha /pi non rationnel)
sin alpha p est dense ds [-1,1] le sup vaut 1 et l inf sur ces alpha vaut 1

pour alpha = pi.a/b a,b entiers positifs
on peut par symétrie se limiter à a/b =< 1/2

le sup est atteint pour k = entier le plus proche de x = b/2a

et vaut f(x) = sin(pi k /(2x)) linf est atteint pour x = 3/2 (il suffit d'étudier la fonction f en découpant sur [1,3/2] ,[3/2,2]...
REM mon erreur initiale venait du fait que j'avais pris k = E(x)


Posted by: Rain'

Citation:
Posté par BiZi
Je ne comprends pas ce genre d'exo: quel sens peut-on donner à sup(sin(p alpha)), puisque alpha n'est pas déterminé? Comment doit-on aborder ce genre d'exercice?
Merci d'éclairer ma lanterne!


Soit alpha € ]0;pi[

Soit Ealpha = { |sin(p*alpha)| | p € Z }

Ealpha est un ensemble majoré par 1 donc admet un sup.

Soit E = { sup {Ealpha} | alpha € ]0;pi[ }

E est minoré par 0 donc admet un inf.

Trouver cet inf.



Ok fahr451 je vois rien qui me dérange dans ta preuve, enfin je te fais confiance sur l'étude de la fonction car j'ai pas vérifié.


Posted by: leibniz

J'ai posté cette question sur un autre forum, et j'ai eu la même réponse (C'est classique je pense), voici exactement la réponse que j'ai eu:
Citation:
Let \beta=\frac{\alpha}{\pi}.

If \beta is irrational, the sup is 1.
If \beta is rational with (in lowest terms) an even denominator, then the sup is the max is 1.
If \beta is rational with a large odd denominator, then the sup is close to 1.

What we need is the smallest possible odd denominator for \beta. But note that since we can't have \alpha=\pi, then we have ruled out a denominator of 1.

The desired smallest supremum is \frac{\sqrt{3}}2, which is realized when \alpha = \frac{\pi}3 or \alpha=\frac{2\pi}3.



Posted by: yos

La courbe de la fonction \displaystyle{\alpha \mapsto \sup_{p\in \mathbb{Z}}|\sin p\alpha|} doit avoir une de ces tronches.


Posted by: namfoodle sheppen

je pense surtout que tu ne peux pas la tracer


Posted by: Rain'

Vous en voulez une autre qui doit pas être très belle.

Construire une fonction continue en tout point de R mais dérivable en aucun point.


Posted by: Pavel

Bonjour.

Ma question ne se rapporte, peut-être pas, directement à la discussion, mais

comment démontrer que sin (p*alpha) est danse dans [-1.1] quand alpha n'est pas un multiple rationel de pi ?

merci d'avance pour vos réponses.


Posted by: fahr451

-> rain aucune certitude mais quid de la fonction distance à l'ensemble triadique de cantor?

->pavel

alpha Z +2pi Z est un sous groupe de (R,+) or ces sous groupes sont de deux sortes
soit dense dans R
soit de la forme aZ
la deuxièmeforme impose alpha = n a et 2Pi = m a donc alpha/pi rationnel
donc pour alpha/pi non rationnel le sous groupe est dense ds R
et son image par sin continue est dense ds [-1,1] l'image étant exactement {sin palpha , p dans Z}


Posted by: Pavel

Les fonctions continues partout et dérivables nuls part ont des têtes assez sympathiques ;) Par exemple fonction de Blancmange ou fonction de Bolzano.

Mais comment construire une fonction dérivable, pour laquelle les points où la pente est positive sont danses dans IR et les points où la pente est négative aussie ?

Merci beaucoup fahr451.


Posted by: namfoodle sheppen

Citation:
Posté par Pavel
Mais comment construire une fonction dérivable, pour laquelle les points où la pente est positive sont danses dans IR et les points où la pente est négative aussie ?

une fonction constante


Posted by: Rain'

Citation:
Posté par Pavel
Les fonctions continues partout et dérivables nuls part ont des têtes assez sympathiques ;) Par exemple fonction de Blancmange ou fonction de Bolzano.


Ces deux là je connais

Citation:
Posté par fahr451
-> rain aucune certitude mais quid de la fonction distance à l'ensemble triadique de cantor?


Ca dans l'immédiat par contre ça me dit rien.


Posted by: yos

La fct de Darboux : \sum \frac{\sin(n!x)}{n!} (qui traîne sur une discussion du forum depuis quelque temps) est de celles-là


Posted by: cesar

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Posted by: BiZi

Citation:
Posté par namfoodle sheppen
une fonction constante


Wah










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