Mathématiques - bloque sur les suites

bloque sur les suites
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Posted by: pouik

Bonsoir,
Je ne vois vraiment pas comment traiter cet exercice donc je viens vous demander de l'aide :
"On considère la fonction :
$f:]0;+ \infty[ \rightarrow R$
$x \rightarrow x - ln(x)$
On note $u_n$ (dans $[1;+\infty[$ ) et $v_n$ (dans $]0;1]$ ) les solutions de l'équation $x - ln(x)=n$ .
Il sera utilse de penser à l'égalité $u-n - ln(u_n) = n$ (*).
- Soit $n \in \N$ , $n \ge 2$ . Comparer $u_n$ et $n$ , et en déduire la nature de la suite de terme général $\frac{ln(u_n)}{u_n}$ .
- Déduire de la question précédente $u_n \sim n$
On a donc : $u_n = n + o(n)$ .
- En traduisant convenablement $u_n \sim n$ , et en utilisant (*), établir $u_n = n + ln(n) + o(ln(n))$ .

Merci d'avance.

Je ne vois vraiment pas comment traiter cet exercice !!

Posted by: tize

Bonsoir,
La première question sert à faire remarquer que $u_n\to\infty$ suite à cela on a la limite de $\frac{\ln(u_n)}{u_n}$ et avec $1-\frac{n}{u_n}=\frac{\ln(u_n)}{u_n}$ on en déduit facilement que $u_n\sim n$ ...

Posted by: boulay59

Pour la deuxième question, il faut écrire le o(n) sous la forme d'une fonction : $u_n = n +f(n)$ avec f(n)/n tendant vers 0 en l'infini

Puis....

Posted by: pouik

Bonsoir et merci à vous deux pour vos reponses,
Toutefois Tize il y a plusieurs choses que je ne comprends pas :

- comment compares-tu $u_n$ et $n$ ?
- Je ne comprends pas comment tu déduis la relation d'équivalence !!

et boulay59 : désolé mais je ne comprends pas du tout ce que tu me proposes. Désolé.

merci d'avance pour votre aide.

Posted by: pouik

personne ne eput m'aider ??? car je ne comprends pas les réponses qui m'ont été données !!!

Posted by: boulay59

Pour les questions à Tize :
- t'as $u_n=n+ln(u_n)$ avec en plus comme hypothèse que $u_n \ge 1$ , donc ...
- De là, t'as la limite de $\frac{ln(u_n)}{u_n}$ . Puis tu prends ta formule (*) et tu la divises par $u_n$

Pour ma réponse :
Une propriété des o, c'est (si b ne s'annule pas, ...) $a_n=o(b_n)$ ssi a/b --> 0.
Donc là tu as $u_n=n + o(n)$ , donc si on considère la suite v définie par $v_n=u_n-n$ tu as $u_n=n+v_n$ et $\frac{v_n}{n}$ tend vers 0. Et si tu reportes ça dans (*), ... (oublie mon histoire de fonction, c'était juste un fonction de N, cad une suite ...)

PS : on n'est pas non plus connecté H24 ;-)

Posted by: tize

Bonjour,
pour plus de précision :
$u_n=n+\ln(u_n)\;(*)$ avec par définition $u_n\geq 1$ donc $\ln(u_n)\geq 0$ et du coup $n\leq u_n\to\infty$ .
Ensuite:
si $u_n\to\infty$ alors $\frac{\ln(u_n)}{u_n}\to 0$ et avec $(*)$ on a $1=\frac{n}{u_n}+\frac{\ln(u_n)}{u_n}$ et donc nécessairement $\frac{n}{u_n}\to 1$ et $u_n\sim n$ .
On veut montrer enfin que $u_n-n-\ln(n) = o$\ln(n)$$ c'est assez simple puisque d'après $(*)$ toujours :
$\|u_n-n-\ln(n)\| = \|\ln(u_n)-\ln(n)\|=\|\ln$\frac{u_n}{n}$\|\to 0$ puisque $\frac{u_n}{n}\to 1$ c'est donc un $o(1)$ qui est lui même évidemment un $o(\ln(n))$

Posted by: pouik

Bonjoue et merci vous deux pour vos explications,
J'ai quasiment tout compris :
dans la 1 quand on demande la nature de la suite : ne faut-il pas donner son sens de variation ??

et dans le 3) je ne comprends pâs bien comment Tize tu passes de la première égalité à la seconde !!!

merci d'avance pour vos réponses !!!!

Posted by: pouik

Bonjour
Est-ce que vous pourriez m'aider à répondre aux points que j'ai mentionné dans mon dernier post car je ne vois topujours pas ??
merci d'avance !!!

Posted by: pedro_cristian

Citation:

Posté par pouik

Bonjoue et merci vous deux pour vos explications,
J'ai quasiment tout compris :
dans la 1 quand on demande la nature de la suite : ne faut-il pas donner son sens de variation ??

Le sens de variation des solutions successives de x-ln(x)=n se déduit quand même du sens de variation de x-ln(x) (faire un dessin pour s'en convaincre).

Posted by: pouik

Bonjour,
c'est bon je suis convaincu pour le sens de variations.

Per contre je ne vois toujours pas comment on fait pour passer de la première égalité à la deuxième dans la question 3) dans la réponse de tize !!!

Posted by: pedro_cristian

Citation:

Posté par pouik

Bonjour,
c'est bon je suis convaincu pour le sens de variations.

Per contre je ne vois toujours pas comment on fait pour passer de la première égalité à la deuxième dans la question 3) dans la réponse de tize !!!

JE ne vois pas quelle est l'égalité qui est blocante.

Posted by: pouik

celle-ci :
$|u_n - n - ln(n)| = |ln(u_n) - ln(n)|$ !!

Posted by: pedro_cristian

Citation:

Posté par pouik

celle-ci :
$|u_n - n - ln(n)| = |ln(u_n) - ln(n)|$ !!

resonnons à l'envers.. il a remplacé $u_n - n$ par $ln(u_n)$ .. vu la définition de $u_n$ , il n'y a rien de surprenant.

Posted by: pouik

ah oui effectivement :

(au moins 3 !!)

Enfin je n'ai pas compris dans ca réponse quand il dit :
" $\frac{u_n}{n}\to 1$ c'est donc un $o(1)$ qui est lui même évidemment un $o(\ln(n))$ "

Posted by: pouik

Je ne comprends toujours pas ce que j'ai indiqué dans mon dernier post : Pourriez-vous m'aider ? s'il vous plait