bijection N,Z

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Posted by: aviateurpilot

salut les amis,

soit la suite (a_n)_{n\in\mathbb{N}}
tel que a_0=0
a_{n}=a_{n-1}+(-1)^{i+1}\frac{3^{r+1}+(-1)^i}{2} si n=3^r(3k+i) (r\ge 0,i\in\{1,2\})

montrer que f:\mathbb{N}\to \mathbb{Z}:\ f(n)=a_n est bijective

bn chance


Posted by: aviateurpilot

pas de commentaires?


Posted by: aviateurpilot

je poste ma solution demain


Posted by: lapras

S'il te plait aviateurpilot laisse nous encore une semaine, personnellement je n'ai pas eu le temps de chercher cette semaine...


Posted by: fati

C'est bon aviateurpilot! une demande de Lapras à ne pas refuser!
n'envoie pas la solution!


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par lapras
S'il te plait aviateurpilot laisse nous encore une semaine, personnellement je n'ai pas eu le temps de chercher cette semaine...

ok, pas de probleme, bn chance


Posted by: rafbh

Est il possible de sen sortir en exprimant an en tant que somme?
pour l'injectivité!
MERCI.


Posted by: aviateurpilot

oui, tu peux le faire


Posted by: aviateurpilot

voila ma solution -tres concentré- ou vous pouver trouvrer klk truc qu'ils faut montrer (si vous voulez les montrer).

si n=3^r(3k+i) avec i\in\{1,2\} alors 2a_n=-1+2a_{n-1}+(-1)^{i+1}3^{r+1}
avec un peu de concentration sans entrer dans les detailles mathematique (je peux le faire si vous voulez) on peux voir directement que 2a_n=-1-1..(n\ fois)..-1-1+\bigsum_{r=0}^{+\infty}3^{r+1}g(n,r) avec g(n,r)=card(A(n,r,1)-card(A(n,r,2)) et A(n,r,i)=\{3^r(3k+i)|\ k\in\mathbb{N}\}\cap [1,n].
d'ou avec le denombrement g(n,r)=E\(\frac{E\(\frac{n}{3^r}\)+2}{3}\)-E\(\frac{E\(\frac{n}{3^r}\)+1}{3}\)

pour n=\overline{b_hb_{h-1}....b_1b_0}^{(3)}: g(n,r)=f(b_r) depend seulement de b_r (evident)
donc 2a_n=-n+\bigsum_{r=0}^{+\infty}3^{r+1}g(n,r)=\bigsum_{r= 0}^{h}3^r(3f(b_r)-b_r)
donc 4$ \fbox{a_n=\bigsum_{r=0}^{h}3^rh(b_r)} avec h:\{0,1,2\}\to \{-1,0,1\} et h(m)=\frac{3f(m)-m}{2}: 4$ \fbox{h(0)=0,h(1)=1,h(2)=-1}
je vous laisse montrer la bijection (sinon je continuerai ma solution apres.)


Posted by: lapras

Impressionant... Le seul truc au quel j'avais pensé c'était f(b_r) avec n en base 3 dans ta démo...
Sinon pour les propriétés quand on nous le dit ca peut paraitre "logique" mais à démontrer formellement je verrai plus tard aujourd'hui...


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par lapras
Impressionant... Le seul truc au quel j'avais pensé c'était f(b_r) avec n en base 3 dans ta démo...
Sinon pour les propriétés quand on nous le dit ca peut paraitre "logique" mais à démontrer formellement je verrai plus tard aujourd'hui...

ce que j'ai ecrit, je l'ai fait sans une progression mathematique
je remarque les formule sans les demontrer lol,
mais je te laisse les montrer pour s'amuser avec, je posterai les démo de ces remarque si tu veux.










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