bijection

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Posted by: minidiane

Bonjour je n'arrive pas à trouver une bijection de [0,1] -> ]0,1]
Quelqu'un peut m'aider?
Merci.


Posted by: legeniedesalpages

Bonjour, l'application identique x\rightarrow x en est une.

D'ailleurs tout ensemble X est en bijection avec lui-même.


Posted by: fahr451

bonjour

ce n 'est pas si simple

je te propose une solution graphique (les formules vont après)
f sera affine par morceaux
dessine ton carré unité coupe le en 4

dans le premier petit carré (en bas à gauche [0,1/2[x[0,1/2[)

trace la diagonale celle parallèle à la seconde bissectrice

c'est la courbe de f sur [0,1/2[

puis redécoupe en 4 le carré du haut à droite et recommence ce que je t'ai dit avec le nouveau petit carré

etc etc

et finalement f(1) = 1


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par legeniedesalpages
Bonjour, l'application identique x\rightarrow x en est une.

c'est faux car dans ce cas on a f([0,1])\neq ]0,1]

voila une bijection g:[0,1]\to ]0,1],
g(0)=1,
pour q\in\mathbb{N}^* g(\frac{1}{q})=\frac{1}{q+1},
si x\in [0,1]-\{\frac{1}{q}|\ q\in\mathbb{N}^*\}: g(x)=x
dans ce cas il est facile de verifié que g est une bijection de [0,1]-\{\frac{1}{q}|\ q\in\mathbb{N}^*\} vers ]0,1]-\{\frac{1}{q}|\ q\in\mathbb{N}^*\}
et aussi une bijection de \{\frac{1}{q}|\ q\in\mathbb{N}^*\} vers \{\frac{1}{q}|\ q\in\mathbb{N}^*\}
d'ou g est une bijection de [0,1] vers ]0,1]


Posted by: legeniedesalpages

oups désolé, je n'avais pas vu que l'ensemble d'arrivée est ]0,1].


Posted by: minidiane

Citation:
Posté par fahr451
bonjour

ce n 'est pas si simple

je te propose une solution graphique (les formules vont après)
f sera affine par morceaux
dessine ton carré unité coupe le en 4

dans le premier petit carré (en bas à gauche [0,1/2[x[0,1/2[)

trace la diagonale celle parallèle à la seconde bissectrice

c'est la courbe de f sur [0,1/2[

puis redécoupe en 4 le carré du haut à droite et recommence ce que je t'ai dit avec le nouveau petit carré

etc etc

et finalement f(1) = 1


ok mais c'est la quelle la seconde bissectrice?


Posted by: fahr451

y = -x la diagonale qui "descend"


Posted by: minidiane

ok merci
et là je dois voir quoi exactement?


Posted by: fahr451

tu as recommencé avec le carré du haut ?


Posted by: minidiane

oui je l'ai coupé en 4 puis j'ai tracé diagonale


Posted by: fahr451

tu as donc f sur [1/2 , 3/4[


et tu recommences etc etc

tu auras finalement f sur [0,1[ et reste à poser f(1) = 1

et on "voit" bien sur le dessin qu 'on a une bijection


Posted by: minidiane

a ok c'est une sorte de fractal?


Posted by: fahr451

si tu veux

un chou fleur en somme


Posted by: minidiane

ok mais en fait sa donne qui comme équation?


Posted by: fahr451

tu as besoin des équations ?

pas moi


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par aviateurpilot
voila une bijection g:[0,1]\to ]0,1],
g(0)=1,
pour q\in\mathbb{N}^* g(\frac{1}{q})=\frac{1}{q+1},
si x\in [0,1]-\{\frac{1}{q}|\ q\in\mathbb{N}^*\}: g(x)=x
dans ce cas il est facile de verifié que g est une bijection de ]0,1]-\{\frac{1}{q}|\ q\in\mathbb{N}^*\} vers ]0,1]-\{\frac{1}{q}|\ q\in\mathbb{N}^*\}
et aussi une bijection de \{0\}\cup \{\frac{1}{q}|\ q\in\mathbb{N}^*\} vers \{\frac{1}{q}|\ q\in\mathbb{N}^*\}
d'ou g est une bijection de [0,1] vers ]0,1]

tu a compris cette bijection


Posted by: minidiane

euh non pas trop


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par minidiane
euh non pas trop

soit S=\{1/p\ |p\in\mathbb{N}^*\}
tu peux montrer facilement que g est bijectif de ]0,1]-S vers ]0,1]-S
et puis que g est bijectif de S\cup \{0\} vers S
d'ou g est bijectif de [0,1]=(]0,1]-S)\cup S\cup \{0\} vers ]0,1]=(]0,1]-S)\cup S
et là j'ai utilisé ce resultat:
si g:A\to B et g:C\to D bijection tel que A\cap C=B\cap D=\emptyset alors g:A\cup C\to B\cup D est une bijection


Posted by: minidiane

Citation:
Posté par fahr451
tu as besoin des équations ?

pas moi


euh oui je pense

ok merci aviateurpilot










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