Bijection réciproque et Image réciproque

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Posted by: LEX

Bonjour à tous,

Je suis en train de voir le cours de mathématiques de MPSI mais voilà, il y a un petit détail qui me géne un peu... c'est la différence entre bijection réciproque et image réciproque. J'ai les définitions des deux notions mais c'est pas très très clair pour moi je trouve.

Pour la bijection récirpoque : Soit f la bij de E sur F. On definit une application de F vers E en associant à tout y de F son seul antecedent x. Cette application est notée f^(-1). Donc pour tout x appartenant a E et pour tout y appartenant a F, on a x = f^-1(y) equivaut à y = f(x).

Pour l'image réciproque : soit f : E -> F une application. Soit B une partie de F. On appelle image réciproque de B par f l'ensemble f^(-1)(B) = [x appartient a E, f(x) appartient a (B)]. Donc x appartient a f^(-1)(B) equivaut a f(x) appartient a B.

L'image réciproque est en fait l'antécedent si je ne me trompe pas mais n'est ce pas le cas de la bijection réciproque aussi? Mais en ce qui concerne l'image réciproqe, on ne pourrait pas dire au lieu de
Citation:
Donc x appartient a f^(-1)(B) equivaut a f(x) appartient a B.
plutot
Citation:
Donc pour tout x appartenant a E et pour tout y appartenant a F, on a x = f^-1(y) equivaut à y = f(x).


Donc c'est la que je ne suis pas sur : Moi ce que je comprends c'est ca: Toute bijection réciproque est une image réciproque, mais tout image réciproque n'est pas une bijection réciproque. Une image réciproque devient une bijection réciproque si f est bijective.

Est ce que je dis est vrai ou faux?

Merci d'avance. :)


Posted by: N_comme_Nul

Salut !

"Toute bijection réciproque est une image réciproque"
Une fonction pourrait alors être un ensemble ?


Posted by: Nightmare

Bonjour

Une bijection réciproque est une application (c'est l'application réciproque d'une application bijective qui est elle même bijective donc est appellée application bijective réciproque)
C'est à dire que si f: E->F est une application bijective, elle admet une réciproque bijective notée f^{-1} : F\to E appellée bijection réciproque.

L'image réciproque c'est un ensemble.
Si l'on note f : E-> F une application bijective et A un sous ensemble de F, l'image réciproque de A c'est l'ensemble f^{-1}(A) où f^{-1} : F\to E est la bijection réciproque de f


Jord


Posted by: Alpha

Salut Lex,

Il ne faut surtout pas confondre image réciproque et bijection réciproque.

L'image réciproque d'un ensemble F par une application f de E dans F est un ensemble, constitué de tous les éléments x de E tels qu'il existe y dans F tel que y=f(x).

Par conséquent, x appartient à f-1(F) n'est pas équivalent à il existe y tel que x=f-1(y), car f n'est pas forcément bijective.

Par conséquent, ce que tu écris :

Toute bijection réciproque est une image réciproque, mais tout image réciproque n'est pas une bijection réciproque. Une image réciproque devient une bijection réciproque si f est bijective.

n'a pas vraiment de sens, puisqu'une bijection est une application, alors que l'image réciproque est un ensemble!

Ici la bijection réciproque (qui existe ssi f est bijective de E dans F) est une application de F dans E, tandis que l'image réciproque f-1(F)={x € E | il existe y € F : y=f(x) } (et son existence ne dépend pas du fait que f soit bijective ou non).




Posted by: LEX

Tout est maintenant plus clair :). Merci beaucoup a vous pour vos explications, je comprends mieux à présent. C'est vrai que je n'avais pas bien saisis le sens de ca, surtout la différence "ensemble-application". Encore merci à vous!


Posted by: Nightmare

Pas de probléme


Jord


Posted by: Non inscrit

Alpha: ce forum est génial et on trouve tjrs des réponses satisfaisantes.
Pour s'avancer sur le prgm de sup comme bcp le font ds ce forum: que faire:
- un prof particulier?
- travailler en autodidacte? si oui, avez-vs des sites ou des bouquins intéressants à me conseiller?
MERCI


Posted by: Alpha

Pour s'avancer sur le programme de sup (après avoir bien revu le programme de terminale, bien sûr),

je te conseille le livre de Mathématiques Tout-En-Un MPSI des éditions Dunod, par Claude Deschamps et André Warusfel. Le cours y est très clair, tout est très détaillé. Tu peux très bien te débrouiller en autodidacte, mais si tu en ressens le besoin, tu peux toujours prendre des cours particuliers.

Personnellement, je pense qu'il est tout à fait possible de s'avancer légèrement sur le programme juste avec un bon livre comme celui que je viens de t'indiquer (et avec de la motivation).

Je te conseille particulièrement cette discussion :

http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=3942

et aussi celle-là :

http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=3970



PS : la prochaine fois, poster ce genre de messages dans salon d'orientation ou la vie en prépa(il n'a pas sa place ici).


Posted by: LEX

Pour m'avancer ds le prgm de MPSI je me sers des cours d'un prof du lycee du parc a lyon : www.mathprepa.com Apres je me sers d'autres pages sur internet pour approfondir, pour les dems, et bien sur de l'aide précieuse des membres de ce forum! :) Tu peux regarder, les 12-15 premiers chapitres sont globalement largement faisables seuls (Enfin pour moi qui ne connaissait rien du prgm de sup il ya quelques semaines, je commence a être assez avancé). Bien sur il y a toujours des petits points qui te sembleront moins clairs mais dans l'ensemble c'est pas sorcier. Il faut aller doucement et bien assimiler chaque notion afin de ne pas être superficiel.


Posted by: Nightmare

Bonjour

Pour m'avancer sur le programme MPSI moi j'utilise les j'intégre de Jean-Marie Monier. Je les trouve assez bien construit. A voir


Jord










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