Bijection - GPGE

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Posted by: klemman

La fonction x:-> x^x étant bijective sur I=[1/e;+oo[ dans J=[f(1/e);+oo[ comment peut on trouver une fonction phi telle que :

phi(x)^phi(x) = x

en se servant j'imagine du fait que x^x est bijective...


Posted by: quinto

Citation:
Posté par klemman
La fonction x:-> x^x étant bijective sur I=[1/e;+oo[ dans J=[f(1/e);+oo[ comment peut on trouver une fonction phi telle que :

phi(x)^phi(x) = x

en se servant j'imagine du fait que x^x est bijective...


C'est juste la définition de bijective qui intervient ici...


Posted by: klemman

oui et donc ? enfin ça ne répond pas a ma question ...


Posted by: yos

Impossible d'exprimer phi(x) en fonction de x au moyen de fonctions usuelles!
Mais la définition implicite de =phi(x) est suffisante pour étudier phi.
Elle est croissante, sa courbe est la symétrique de celle de x^x par rapport à la première bissectrice, elle est dérivable sur l'intervalle ouvert...
Que veux-tu de plus?


Posted by: Daragon geoffrey

slt
tu poses f(x)=x^x=e^(xln|x|) sachant que |x|=x si x positif et -x si x négatif, de plus f est dérivable sur R en tant que composée de fct dérivables sur R, et f'=(ln(-x)+1)e^xln-x donc du signe de ln(-x)+1 positif équivaut à x inf à -e^(-1), et pour x positif, f'=(ln(x)+1)e^xlnx donc du sgn de ln(x)+1 positif équivaut à x sup à e^(-1), donc sur [1/e;+inf[ (I), f est dérivable donc continu de plus f strict croissante pour tt x de cet intervalle avec limf=+inf en +inf, et f([1/e;+inf[)=[e^(-e^(-1));+inf[ (J), alor f réalise une bijection de I ds J !


Posted by: Daragon geoffrey

pardon je sui un pu vite en besogne g mal lu ta question dsl !


Posted by: quinto

Citation:
Posté par klemman
oui et donc ? enfin ça ne répond pas a ma question ...

Bein déjà si tu acceptes que l'on ne te mache pas le travail, ca ira mieux.
Avec ce que je t'ai dit et un minimum de réflexion c'est terminé.
C'est quoi une bijection par définition? Et la définition d'une fonction réciproque?










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