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bases
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Posted by: waterproof

bonjour

en fait, j'ai des problèmes pour déterminer les bases de certaines structures alors que ça ne devrait pas poser problème :

par exemple, quelle est une base du plan d'équation x+y+z=0? On est dans un espace de dimension 3, avec pour base orthonormée (i,j,k)

merci

Posted by: Monsieur23

Bonjour.

Ton plan est normal au vecteur (1,1,1).

Il te suffit donc de trouver deux vecteurs non colinéaires, orthogonaux à (1,1,1).

Posted by: waterproof

ok merci pour ton aide

Posted by: waterproof

cependant je n'arrive pas à résoudre mon problème :

On a une base (i,j,k) orthonormée de E et on veut la matrice de la projection orthogonale sur le plan P d'équation x+y+z=0

On peut donc dire par exemple que le vecteur t=i+j+k est orthogonal à P, si on note D la droite engendrée par ce vecteur,

donc $3$ P_P (x) = Id - P_D (x)$ avec $3$ P_D (x) = (x/t)t$ , mais je n'arrive pas à m'en sortir...
comment calculer (x/t) ? je prend quoi pour x?

merci

Posted by: Nightmare

Salut

Simplement :

x=-y-z

Soit (x,y,z) dans ton plan, il s'écrit y(-1,1,0)+z(-1,0,1)
Les vecteurs (-1,1,0) et (-1,0,1) forment une base de ton hyperplan.

Posted by: Monsieur23

Tu veux une matrice, donc tu dois calculer les images de vecteurs de base ( i j et k en l'occurrence ).

Posted by: waterproof

oui mais en fait mon problème c'est :

$3$ P(x) = \sum_{k=1}^n (x/e_k) e_k$ avec P la projection sur le plan P par exemple

Donc la il suffit de calculer : $3$ P(x) = (x/e_1) e_1 + (x/e_2) e_2$ avec $3$ e_1$ et $3$ e_2$ comme tu les as définis, mais après comment je calcule ça? je pose $3$ x=(a,b,c)$ et je calcule? Comment je remonte ensuite à la matrice?

Posted by: Monsieur23

Attention, c'est la somme des (x / ek) / ||ek||².

Sinon, là c'est bon, maintenant, tu calcules ça pour x=i, x=j et x=k.

Posted by: waterproof

Citation:

Posté par Monsieur23

Attention, c'est la somme des (x / ek) / ||ek||².

Sinon, là c'est bon, maintenant, tu calcules ça pour x=i, x=j et x=k.

donc par exemple pour la première colonne, ça donne :

$3$ P(i) = \frac{1}{ \sqrt{2}} (i/e_1) e_1 + \frac{1}{ \sqrt{2}} (i/e_2) e_2$
$3$ = \frac{1}{ \sqrt{2}} ( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} / <br /> \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ) e_1 + \frac{1}{ \sqrt{2}} ( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} / <br /> \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} ) e_2$
$3$ = \frac{-e_1}{ \sqrt{2}} + \frac{e_2}{ \sqrt{2}}$
or $3$ e_1=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ donc $3$ e_1 = -i+j$ , idem pour $3$ e_2$ , et donc on a en remplaçant :
$3$ P(i) = \sqrt{2} i - \sqrt{2} j$ et donc la première colonne est $3$ \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ - \sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}$

c'est ça?

Posted by: Monsieur23

Oué ! C'est ça !

Posted by: waterproof

ok, mais quand même quelque chose qui me gène :

on peut aussi raisonner par rapport à la projection sur D, droite orthogonale à P, de vecteur directeur $3$ u_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et donc on aurait l'expression de $3$ P_1$ projection orthogonale à P (celle que l'on cherche) telle que :

$3$ P_1 (x) = Id - \frac{1}{ 3}(x/u_1) u_1$
donc $3$ P_1(i)= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{1}{ 3} ( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}) u_1$
$3$ = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - u_1$
$3$ = i- \frac{1}{3} (i+j+k)$ donc la première colonne serait $3$ \begin{pmatrix} 2/3 \\ -1/3 \\ -1/3 \end{pmatrix}$ c'est pas la même chose!

Posted by: waterproof

Citation:

Posté par waterproof

et ici d'ailleurs c'est pas $1/2$ au lieu de $1/ \sqrt{2}$ ?

bon j'ai compris le problème, je me suis trompé dans les vecteurs on obtient autre chose donc

Posted by: waterproof

quelqu'un a une explication pourquoi je ne trouve pas la même matrice suivant que je raisonne avec la projection par rapport au plan ou celle par rapport à la droite (Id-projection sur la droite) ?